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$n-1$ intersezioni, rispetto al polo $o'$; cioè $P_{o'o}$ passerà per gli $n-2$ punti in cui $R$ sega $\Gamma _{n-2}$.

Da ciò si raccoglie che le polari miste $P_{oo'}$, $P_{o'o}$ hanno $n-2$ punti comuni sopra una trasversale condotta arbitrariamente pel punto $o'$. Dunque esse non sono altro che una sola e medesima curva d'ordine $n-2$.

7. Abbiansi ora nel piano $\mu +1$ punti qualisivogliano $o,o',o'',\dots o^{(\mu )}$, e si indichi con $P_{oo'o''}$ la polare di $o$ rispetto a $P_{o'o''}$, con $P_{oo'o''o'''}$, la polare di $o$ rispetto a $P_{o'o''o'''}$ ecc. Dal teorema ora dimostrato segue manifestamente che la polare $P_{oo'o''\dots o^{(\mu )}}$ rimane la stèssa curva, in qualunque ordine siano presi i poli $o,o',o'',\dots o^{(\mu )}$. Se poi si suppone che $r$ di questi punti coincidano in un solo $o$, e che gli altri $\mu +1-r=r'$ si riuniscano insieme in $o'$, avremo il teorema generale:

Per una qualsivoglia curva fondamentale, la polare $(r)$^ma di un punto $o$ rispetto alla polare $(r')$^ma di un altro punto $o'$ coincide colla polare $(r')$^ma di $o'$ rispetto alla polare $(r)$^ma di $o$. [41]

Sui punti doppi delle curve di un fascio. [42]

8. Le curve di un dato fascio d'ordine $n$ abbiano un punto $(r)$^plo $o$ comune, e siano $o',o''$ due punti fissati ad arbitrio nel piano (Introd. 88). Le polari di $o$ rispetto a quelle curve hanno in $o$ un punto $(r)$^plo colle stesse tangenti delle curve date, e queste tangenti formano un'involuzione di grado $r$. Invece le polari di $o'$ hanno in $o$ un punto $(r-1)$^plo e le loro tangenti sono aggruppate in un'involuzione di grado $r-1$. Le due involuzioni sono projettive ed un gruppo qualunque della seconda è (Introd. 74) la polare di $o'$ rispetto al fascio di rette costituenti il corrispondente gruppo della prima.

I due fasci di polari di $o$ ed $o'$, essendo projettivi, generano una curva d'ordine $2(n-1)$, la quale ha in $o$ un punto $(2r-1)$^plo e per tangenti i raggi comuni alle due involuzioni, i quali sono evidentemente la retta $oo'$ ed i raggi doppi dell'involuzione di grado $r$ (Introd. 19).

Analogamente le polari di $o$ ed $o''$ generano un'altra curva d'ordine $2(n-1)$, passante $2r-1$ volte per $o$ ed avente ivi per tangenti la retta $oo''$ ed i raggi doppi dell'involuzione di grado $r$.

Per tal modo le due curve d'ordine $2(n-1)$ hanno in $o$ un punto $(2r-1)$^plo e $2(r-1)$ tangenti comuni: epperò il punto $o$ rappresenta $(2r-1)^{2}+2(r-1)$ intersezioni delle medesime. Siccome poi $o$ tiene anche le veci di $r^{2}$ punti-base del fascio delle polari di $o$, e siccome $(2r-1)^{2}+2(r-1)-r^{2}=(r-1)(3r+1)$, così:

Se le curve di un fascio hanno un punto $(r)$^plo comune, questo equivale ad $(r-1)(3r+1)$ punti doppi del fascio medesimo.