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curve d’ordine $2(n-1)$ generate dai fasci di polari. Ne segue che queste curve hanno $r^{2}+s-1$ intersezioni coincidenti in $o$. Ma in questo punto sono anche riuniti $r$ punti-base del fascio delle polari di $o$; dunque:

Se una curva di un fascio passa $r$ volte per uno de’ punti base ed ha ivi $s$ tangenti riunite, quel punto tien luogo di $r(r-1)+s-1$ punti doppi del fascio. [43]

Sulle reti geometriche d'ordine qualunque.

13. Una rete di curve d’ordine $n$ (Introd. 92) è dessa in generale una rete di prime polari? Siccome una rete è determinata da tre curve, così è da ricercarsi se, date tre curve $A_{1},A_{2},A_{3}$ d’ordine $n$ e non appartenenti ad uno stesso fascio, sia possibile di determinare tre punti $a_{1},a_{2},a_{3}$ (non in linea retta) ed una curva d’ordine $n+1$ rispetto alla quale le tre curve date siano le prime polari di $a_{1},a_{2},a_{3}$.

La curva fondamentale ed i tre poli dipendono da ${\tfrac {1}{2}}(n+1)(n+4)+6$ condizioni: mentre se si domanda l’identità delle tre curve date colle polari dei tre punti, bisognerà sodisfare a ${\tfrac {3}{2}}n(n+3)$ condizioni. La differenza $(n-2)(n+4)$ di questi numeri è nulla soltanto per $n=2$. Eccettuato adunque il caso di $n=2$, una rete di curve non è in generale una rete di prime polari. [44]

14. Consideriamo pertanto una rete affatto generale, la quale sia individuata da tre curve $A_{1},A_{2},A_{3}$ d’ordine $n$; e sia $A_{0}$ un’altra curva della rete, tale che tre qualunque delle quattro curve $A_{0}A_{1}A_{2}A_{3}$ non appartengano ad uno stesso fascio. Fissiamo ad arbitrio nel piano quattro punti $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$, tre qualunque dei quali non siano in linea retta, e consideriamoli come corrispondenti alle quattro curve anzidette. Ciò premesso, i punti del piano e le curve della rete si possono far corrispondere fra loro, in modo che a punti in linea retta corrispondano curve di un fascio (proiettivo alla punteggiata). Se consideriamo dapprima una retta che unisca due de’ punti dati, per es. $a_{0}a_{1}$, la projettività fra i punti della retta $a_{0}a_{1}$ e le curve del fascio $A_{0}A_{1}$ sarà determinata dalla condizione che ai punti $a_{0},a_{1}$ corrispondano le curve $A_{0},A_{1}$, ed al punto d’intersezione delle rette $a_{0}a_{1},a_{2}a_{3}$ corrisponda la curva comune ai fasci $A_{0}A_{1},A_{2}A_{3}$: poste le quali cose, ad un altro punto qualunque di $a_{0}a_{1}$ corrisponderà una curva affatto individuata del fascio $A_{0}A_{1}$.

Per una retta qualunque $R$, ai punti in cui essa è segata da tre lati dei quadrangolo $a_{0}a_{1}a_{2}a_{3}$ corrispondono tre curve già determinate in ciò che precede, le quali apparterranno necessariamente ad uno stesso fascio: quindi ad un quarto punto qualsivoglia in $R$ corrisponderà una determinata curva del fascio medesimo; e viceversa. — E la curva $A$ corrispondente ad un dato punto $a$ si troverà considerando questo