situati in una curva
del fascio
. Donde segue che i fasci
,
sono projettivi e che la curva da essi generata è ancora
.
Analogamente le seconde
intersezioni di
con
saranno anche situate in una curva
del fascio
. E per tal modo otteniamo un nuovo fascio
projettivo ai dati, i punti-base del quale giacciono in
. Siccome poi le curve
,
,
, ... appartengono rispettivamente ai fasci
,
,
, ... i cui punti-base sono tutti in
, così il fascio
insieme con l’uno o con l’altro dei dati genera di nuovo la medesima curva
. Ossia:
Dati due fasci projettivi
,
di curve dello stesso ordine, i quali generano una curva
; se
è una curva scelta ad arbitrio nel fascio
, si possono determinare altre curve
che appartengano rispettivamente ai fasci
e formino con
un nuovo fascio projettivo ai dati e generante con ciascuno di questi la medesima curva
.
3. Siano ora
,
due fasci projettivi di curve d’ordine qualunque, i quali generino una curva
. Se
sono due linee arbitrarie, i due fasci projettivi
,
che si ottengono accoppiando
o
a ciascuna curva dell’uno o dell’altro fascio dato, genereranno evidentemente un luogo composto delle tre curve
. Le linee
siano poi scelte di tale ordine che i due nuovi fasci risultino dello stesso ordine; e, secondo il teorema precedente, si formi un nuovo fascio
projettivo ai precedenti, le cui curve appartengano rispettivamente ai fasci
,
, ... e siano tali che il nuovo fascio insieme col precedente
generi il luogo
. Allora è evidente che i due fasci projettivi
e
genereranno il luogo
.
4. Supponiamo ora che tutte le curve del fascio
tocchino una stessa retta
in uno stesso punto
: sia
la curva per la quale
è un punto doppio; e la corrispondente curva
passi anch’essa per
. Allora
avrà due rami incrociati in
: quali saranno le tangenti di
nel punto medesimo?
Si scelga per
una linea non passante per
; ed
sia composta della retta
e di un’altra linea non passante per
. In tal caso le curve del fascio
avranno in
la stessa tangente
: sia
quella curva di questo fascio, per la quale
è un punto doppio. Questo punto è doppio per le due curve complesse
; epperò esso sarà doppio per tutte le curve del fascio
, fra le quali trovasi
. Ora, la curva
(insieme con
) è generata dai due fasci projettivi
,
nel secondo de’ quali tutte le curve hanno un punto doppio in
; dunque (in virtù del teorema Introd. 52, [39] ove si faccia
,
) le tangenti di
in
sono le tangenti della curva
del secondo fascio la quale corrisponde a quella curva
del primo che passa per
.