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53. SOPRA ALCUNE QUESTIONI NELLA TEORIA DELLE CURVE PIANE¹. [38]

Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo VI (1864), pp. 153-168.

Sulla generazione di una curva mediante due fasci progettivi.

1. Siano dati due fasci projettivi di curve. Le curve del primo fascio abbiano in un punto-base $o$ la tangente comune, e questo punto giaccia anche sulla curva del secondo fascio che corrisponde a quella curva del primo per la quale $o$ è un punto doppio. In questo caso, è noto (Introd. 51, b) che il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti dei due fasci passa due volte per $o$. Ora ci proponiamo di determinare le due tangenti del luogo nel punto doppio.

2. Lemma. Siano $(U,V,W,\dots )$, $(U',V',W',\dots )$ le curve corrispondenti di due fasci projettivi dello stesso ordine $n$, i quali generano una curva $K$ dell’ordine $2n$, passante pei punti-base dei due fasci.

Le curve $U,U'$ individuano un nuovo fascio i cui punti-base sono in $K$; ogni curva $U''$ di questo fascio segherà $K$ in altri $n^{2}$ punti, pei quali e per un punto fissato ad arbitrio in $K$ descrivendo una curva d’ordine $n$, questa segherà $K$ in altri $n^{2}-1$ punti fissi, qualunque sia la curva $U''$ scelta nel fascio $(UU')$ (Introd. 54, a). Se il punto arbitrario è un punto-base del fascio $(VV')$, esso cogli altri $n^{2}-1$ punti fissi costituirà la base $(VV')$. Infatti la curva $U$ sega $K$ in $2n^{2}$ punti, de’ quali $n^{2}$ giacciono in $U'$, e gli altri $n^{2}$ in $V$; e così $U'$ sega $K$ in $2n^{2}$ punti de’ quali $n^{2}$ appartengono ad $U$ e gli altri a $V'$. Dunque una qualsivoglia curva $U''$ del fascio $(UU')$ segherà $K$ in altri $n^{2}$ punti

1. Queste brevi note sono destinate ad emendare o completare alcuni punti dell' Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. [Queste Opere, n. 29 (t. I.^o)]. Nell'impresa di scemare alquanto i moltissimi difetti di questo libro, io sono stato fraternamente consigliato e ajutato dal mio egregio amico, il ch. Dr. Hirst.