Saggio di interpretazione della geometria non euclidea/Nota II

by Eugenio Beltrami

Nota II

../Nota I IncludiIntestazione 12 aprile 2023 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Eugenio Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868)

Nota II

◄

Nota I

NOTA II

Scrivendo l’espressione dell’elemento lineare sotto ia forma

(1)	$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {w^{2}(du^{2}+dv^{2})+(udu+vdv)^{2}}{w^{4}}}$

si vede subito che per passare dalle primitive geodetiche fondamentali a due altre passanti per la medesima origine ed ortogonali fra loro servono le solile formolo della trasformazione delle coordinate rettangole in piano, quando l’origine è comune, cioè

$u=u'\cos \mu -v'\operatorname {sen} \,\mu$,

$v=v'\operatorname {sen} \,\mu +v'\cos \mu$,

$u'$, $v'$ essendo le nuove coordinato e $\mu$ l’angolo che la nuova fondamentale $v'=0$ fa colla primitiva $v=0$. Infatti da queste formolo si trae

$u^{2}+v^{2}=u'\,^{2}+v'\,^{2}$,

$du^{2}+dv^{2}=du'\,^{2}+dv'\,^{2}$,

e quindi la (1) diventa

(1)'	$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {w'\,^{2}(du'\,^{2}+dv'\,^{2})+(u'du'+v'dv')^{2}}{w'\,^{4}}}$,

conservando la primitiva sua forma. (Di qui si vede che le geodetiche ortogonali a quelle che divergono dall’origine sono rappresentate dalle corde del cerchio limite perpendicolari ai diametri che rappresentano queste ultime. Reciprocamente, affinchè due geodetiche intersecantisi ortogonalmente nel punto ($u$, $v$) siano rappresentale nel piano ausiliare da due rette ortogonali, bisogna che l’una o l’altra di quelle geodetiche passi per l’origine ($u=v=0$), come facilmente si rileva dalla forinola data nel testo per la trasformazione degli angoli. Questa proprietà diventa evidente nella proiezione centrale della sfera). Anche la lunghezza di un arco geodetico uscente dall’origine conserva nel secondo sistema la forma che aveva nel primo, essendo data da

(2)	$\rho ={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}{a-{\sqrt {u'^{2}+v'^{2}}}}}$.

Vediamo ora l’effetto di un cambiamento d’origine.

Per tal uopo prendiamo un punto qualunque ($u_{0}$, $v_{0}$) e supponiamo che la fondamentale $v'=0$ del secondo sistema passi per esso, cioè supponiamo $\cos \mu ={\frac {u_{0}}{r_{0}}}$, $\operatorname {sen} \mu ={\frac {v_{0}}{r_{0}}}$ e quindi

(3)

$u={\frac {u_{0}u'-v_{0}v'}{r_{0}}}$,

$v={\frac {u_{0}u'-v_{0}v'}{r_{0}}}$,

dove $r_{0}={\sqrt {u_{0}^{2}+v_{0}^{2}}}$. Indi formiamo un terzo sistema, colle coordinate $u''$, $v''$, avente per fondamentali la geodetica $v'=0$ e l’altra geodetica condotta normalmente a questa per il punto ($u_{0}$, $v_{0}$).

Conduciamo dal punto ($u'$, $v'$) qualunque una geodetica perpendicolare alla $v'=0$ e chiamiamone: $q$ la lunghezza, $p$ la distanza dalla primitiva origine (misurata sulla $v'=0$). La (2) dà tosto

(4)	$p={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+u'}{a-u'}}$.

mentre dalla (1)' si deduce agevolmente, ponendo $du'=0$,

(5)	$q={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {{\sqrt {a^{2}-u'^{2}}}+v'}{{\sqrt {a^{2}-u'^{2}}}-v'}}$.

La distanza geodetica $p_{0}$ delle due origini ($u=v=0$), ($u_{0}$, $v_{0}$) ha per valore

$p_{0}={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a+r_{0}}{a-r_{0}}}$,

talchè l’arco geodetico compreso sulla geodetica fondamentale $v''=0$ del terzo sistema (che è la stessa cosa della $v'=0$), fra il punto ($u_{0}$, $v_{0}$) e la normale $q$, è dato da

(6)	$p-p_{0}={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {(a+u')(a-r_{0})}{(a-u')(a+r_{0})}}$.

Ma chiamando $a_{0}$ la costante analoga ad $a$ nel terzo sistema, ed osservando che in questo sistema le quantità analoghe alle $p$, $q$ del secondo sono $p-p_{0}$ e $q$, è chiaro che in analogia colle (4) (5) si deve avere

$p-p_{0}={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {a_{0}+u''}{a_{0}-u''}}$,

$q={\frac {\text{R}}{2}}\log {\frac {{\sqrt {a_{0}^{2}-u''^{2}}}+v''}{{\sqrt {a_{0}^{2}-u''^{2}}}-v''}}$.

Eguagliando queste espressioni con quelle date dalle (6) (5) si ottengono due relazioni, le quali forniscono

(7)

$u''={\frac {aa_{0}(u'-r_{0})}{a^{2}-r_{0}u'}}$,

$v''={\frac {a_{0}u_{0}v'}{a^{2}-r_{0}u'}}$,

${\bigg (}w_{0}={\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}}}{\bigg )}$.

La costante $a_{0}$ rimane propriamente indeterminata, perchè non si possono avere che equazioni fra i rapporti ${\frac {u'}{a}}$, ${\frac {v'}{a}}$ ed i rapporti ${\frac {u''}{a_{0}}}$, ${\frac {v''}{a_{0}}}$. Sembra però conveniente determinare $a_{0}$ colla condizione che per $u''=0$, cioè $u'=r_{0}$, si abbia $v'=v''$, ed allora si trova $a_{0}=w_{0}={\sqrt {a_{0}^{2}-u_{0}^{2}-r_{0}^{2}}}$. Ritenuto questo valore le formole precedenti danno

$u'={\frac {a(a_{0}r_{0}+au'')}{aa_{0}+r_{0}u''}}$,

$v'={\frac {aa_{0}v''}{aa_{0}+r_{0}u''}}$,

e questi valori, sostituiti nella (1)', danno

$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {(a_{0}^{2}-v''^{2})du''^{2}+2u''v''du''dv''+(a_{0}^{2}-u''^{2})dv''^{2}}{(a_{0}^{2}-u''^{2}-v''^{2})}}$.

Dunque anche il trasporto dell’origine non altera la forma dell’elemento lineare, il quale non differisce dal primitivo che per la sostituzione della $a_{0}$ alla $a$, cambiamento che non è punto essenziale.

Per ottenere finalmente un quarto sistema affatto scevro da legami col primo, surroghiamo le due fondamentali $u''=0$, $v''=0$ con due nuove geodetiche ortogonali aventi la stessa origine ($u_{0}$, $v_{0}$), il che sappiamo farsi ponendo

$u''=u'''\cos \nu -v'''\operatorname {sen} \nu$,

$v''=u'''\operatorname {sen} \nu +v'''\cos \nu$,

e sappiamo pure che tale sostituzione non cambia punto la forma dell’elemento. Vediamo così che la forma ammessa primitivamente per l’elemento lineare non è punto peculiare ad una determinata coppia di geodetiche fondamentali: il punto ($u=v=0$) può all’incontro essere uno qualunque della superficie, e la geodetica fondamentale $v=0$ può essere una qualunque tra quelle uscenti da questo punto.

Tenendo conto delle relazioni trovate fra le coordinate dei successivi sistemi, e ponendo per brevità

$p={\frac {au_{0}}{a_{0}r_{0}}}\cos \nu -{\frac {v_{0}}{r_{0}}}\operatorname {sen} \nu$,

$p_{1}={\frac {au_{0}}{a_{0}r_{0}}}\operatorname {sen} \nu +{\frac {v_{0}}{r_{0}}}\cos \nu$,

$q={\frac {av_{0}}{a_{0}r_{0}}}\cos \nu +{\frac {u_{0}}{r_{0}}}\operatorname {sen} \nu$,

$q_{1}={\frac {av_{0}}{a_{0}r_{0}}}\operatorname {sen} \nu -{\frac {u_{0}}{r_{0}}}\cos \nu$,

$r={\frac {r_{0}\cos \nu }{aa_{0}}}$,

$r_{1}={\frac {r_{0}\operatorname {sen} \nu }{aa_{0}}}$,

si trovano lo seguenti relazioni finali fra le $u$, $v$ e le $u'''$, $v'''$

$u={\frac {u_{0}+pu'''-p_{1}v'''}{1+ru'''-r_{1}v'''}}$,

$v={\frac {v_{0}+qu'''-q_{1}v'''}{1+ru'''-r_{1}v'''}}$.

Considerando tanto le $u$, $v$ quanto le $u'''$, $v'''$ come coordinate rettangole dei punti corrispondenti di due piani, queste formole esprimono una dipendenza omografica fra i piatti stessi, circostanza di cui si è parlato nella Memoria citata nella Nota I.

Se si confronta la primitiva espressione dell’elemento lineare in funzione delle $u$, $v$, con quella finale in funzione delle $u'''$, $v'''$, si trova che esse si possono far coincidere ponendo

${\frac {u}{a}}=\pm {\frac {u'''}{a_{0}}}$,${\frac {v}{a}}=\pm {\frac {v'''}{a_{0}}}$,

${\bigg (}{\text{od anche}}\;{\frac {u}{a}}=\pm {\frac {v'''}{a_{0}}}$,${\frac {v}{a}}=\pm {\frac {u'''}{a_{0}}}{\bigg )}$,

la scelta del segno essendo arbitraria in ciascuna formola. Ciò dimostra che la superficie pseudosferica, considerata come flessibile ed inestendibile, si può sovrapporre a sè medesima in modo che uno qualunque dei suoi punti ($u_{0}$, $v_{0}$) passi ad occupare la posizione di un qualunque filtro punto ($u=v=0$), e che una qualunque dello geodetiche uscenti dal primo punto (p. es. la $v'''=0$) coincida in tutta la sua estensione con una qualunque di quelle uscenti dal secondo (p. es. colla $v=0$). Anzi la duplicità dei segni fa vedere che la sovrapposizione di due angoli geodetici di ugual grandezza formati intorno a quei due punti si può operare tanto direttamente quanto inversamente. Per es. l’angolo retto delle geodetiche $u'''=0$, $v'''=0$ può essere applicato su quello delle $u=0$, $v=0$ tanto facendo coincidere $u'''=0$ con $u=0$ e $v'''=0$ con $v=0$, quanto facendo coincidere $u'''=0$ con $v=0$ e $v'''=0$ con $u=0$. Dunque ogni pezzo di superficie può essere sovrapposto, tanto direttamente quanto inversamente, su qualunque parte della superficie stessa; epperò se in quel pezzo esistesse una figura (p. es. un triangolo geodetico) essa potrebbe ricevere sulla superficie tutti quegli spostamenti che una figura piana può ricevere nel suo piano, senza mai cessare d’essere eguale a sè stessa. Naturalmente quest’eguaglianza non si deve riferire che alle lunghezze delle linee ed all’ampiezza degli angoli, giacchè la curvatura assoluta delle lince non entra qui in considerazione¹.

La proprietà ora dimostrata era già nota, ma la dimostrazione precedente ci sembra possedere quel rigore che la natura del nostro soggetto richiede. Del resto il teorema di Gauss stabilisce che se la proprietà in discorso può competere a qualche superficie, questa superficie è necessariamente fra quelle la cui curvatura sferica è costante.

Non tralasciamo di notare un risultato utile che si deduce facilmente da alcune delle formole precedenti. Il cerchio geodetico col centro nel punto, ($u_{0}$, $v_{0}$) e col raggio $\rho$ è rappresentato, nel terzo sistema, dall’equazione

$u^{2}+v^{2}=a_{0}^{2}{\text{tgh}}^{2}{\frac {\rho }{\text{R}}}$,

come risulta dalla formola (6) del testo. Ma dalle (7) di questa Nota, per essere $a_{0}=w_{0}={\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}}}$ si trae

$u''^{2}+v''^{2}={\bigg (}{\frac {a_{0}}{a_{2}-r_{0}u'}}{\bigg )}^{2}\{a^{2}[(u'-r_{0})^{2}+v'^{2}]-(r_{0}v')^{2}\}$,

e dalle (3) si ha pure

$u'={\frac {uu_{0}+vv_{0}}{r_{0}}}$,

$v'={\frac {u_{0}v-uv_{0}}{r_{0}}}$,

donde

$u'-r_{0}={\frac {u_{0}(u-u_{0})+v_{0}(v-v_{0})}{r_{0}}}$,

$v'={\frac {u_{0}(v-v_{0})-v_{0}(u-u_{0})}{r_{0}}}$,

dunque finalmente

${\frac {a^{2}\{(u-u_{0})^{2}+(v-v_{0})^{2}\}-(u_{0}v-uv_{0})^{2}}{(a^{2}-uu_{0}-vv_{0})}}^{2}={\text{tgh}}^{2}{\frac {\rho }{\text{R}}}$.

Quest’equazione fornisce la distanza geodetica $\rho$ di due punti qualunque ($u$, $v$) ($u_{0}$, $v_{0}$). Quando questi punti sono infinitamente vicini essa riconduce immediatamente all’espressione dell’elemento lineare da cui siamo partiti.

Sostituendo il cosh alla tgh la precedente equazione assume la forma più elegante

${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {(a^{2}-u^{2}-v^{2})(a^{2}-u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}}\cosh {\frac {\rho }{\text{R}}}$.

---

Note

1. L’eguaglianza relativa di cui ai parla sarebbe eguaglianza assoluta per un essere i cui concetti geometrici non eccedessero il campo a due dimensioni della superficie considerata, come i nostri non eccedono quello a tre dimensioni dell’ordinario spazio.