Saggio di interpretazione della geometria non euclidea/Nota I

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Eugenio Beltrami - Saggio di interpretazione della geometria non euclidea (1868)

Nota I

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NOTA I.

La riduzione dell’elemento lineare di una superficie di curvatura costante negativa alla forma sotto la quale esso viene usato nelle presenti ricerche, si fonda sopra i risultati di una nostra Memoria inserita nel t. VII degli Annali di Maternatica (Roma 1866) col titolo di: Risoluzione del problema di riportare i punti di una superficie sopra un piano in modo che le linee geodetiche vengano rappresentate da linee rette.

Il principio che ha servito a risolvere questo problema è il seguente. Quando i punti di una superficie si fanno corrispondere, secondo una legge qualunque, con quelli di un piano, si possono sempre prendere per le due variabili indipendenti $u$ , $v$ che devono individuare i punti della superficie le stesse coordinate rettangolari $x$ , $y$ dei punti corrispondenti del piano. Ciò ammesso, se la rappresentazione dev’essere tale che alle geodetiche della superficie corrispondano le rette del piano, bisogna che l’equazione differenziale di 2° ordine delle linee geodetiche abbia per suo integrale completo un’equazione lineare fra $u$ e $v$ , quindi bisogna che la della equazione differenziale si riduca semplicemente a questa:

$du.d^{2}v-dv.d^{2}u=0$ .

Ora dalla forma generale dell’anzidetta equazione differenziale si ricava che ciò succede solamente quando le funzioni E, F, G componenti l’elemento lineare

$ds={\sqrt {{\text{E}}du^{2}+2{\text{F}}dudv+{\text{G}}dv^{2}}}$

soddisfanno a quattro relazioni, le quali insegnano che all’elemento stesso si può sempre dare la forma

$ds={\text{R}}{\frac {\sqrt {(a^{2}+v^{2})du^{2}-2uvdudv+(a^{2}+u^{2})dv^{2}}}{a^{2}+u^{2}+v^{2}}}$ ,

dove R ed $a$ sono costanti arbitrarie. Per riconoscere la natura delle superficie contenute in questa forma si è calcolata l’espressione della curvatura sferica (prodotto inverso dei due raggi di curvatura principale) e si è trovato per essa il valore ${\frac {1}{{\text{R}}^{2}}}$ , donde si è concluso che le superficie in discorso hanno la loro curvatura sferica costante, epperò che queste sole superficie ammettono la rappresentazione piana colla condizione prescritta.

Nella citata Memoria si sono supposte reali le costanti R ed $a$ , perchè lo scopo in vista del quale quelle ricerche erano state instituite dava speciale rilievo a questa ipotesi. Ed appunto per ciò si è osservato che quell’elemento conviene in particolare ad una superficie sferica di raggio R, tangente al piano figurativo nell’origine delle coordinate e rappresentata sul piano stesso per mezzo della projezione [p. 25 modifica]centrale; nel qual caso le variabili $u$ , $v$ sono precisamente le coordinate rettangolari della projezione del punto a cui quelle variabili si riferiscono.

Ma siccome i valori delle costanti R ed $a$ sono realmente arbitrarii, così è lecito supporli anche imaginarii, se conviene. Ed infatti cambiando quelle costanti in ${\text{R}}{\sqrt {-1}}$ , $a{\sqrt {-1}}$ , l’elemento lineare risultante corrisponde ad una superficie di curvatura costante negativa $-{\frac {1}{{\text{R}}^{2}}}$ , le cui linee geodetiche non cessano di essere, come nel caso precedente, rappresentate nel piano da linee rette, e quindi date da equazioni lineari rispetto ad $u$ , $v$ . Questo è il modo in cui si passa dalle formole della Memoria citata a quelle del presente scritto. La sola differenza essenziale fra i due casi è che in quelle le variabili $u$ , $v$ possono ricevere tutti i valori reali, mentre in queste esse sono contenute entro certi limiti, che vengono facilmente assegnati.