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centrale; nel qual caso le variabili $u$, $v$ sono precisamente le coordinate rettangolari della projezione del punto a cui quelle variabili si riferiscono.

Ma siccome i valori delle costanti R ed $a$ sono realmente arbitrarii, così è lecito supporli anche imaginarii, se conviene. Ed infatti cambiando quelle costanti in ${\text{R}}{\sqrt {-1}}$, $a{\sqrt {-1}}$, l’elemento lineare risultante corrisponde ad una superficie di curvatura costante negativa $-{\frac {1}{{\text{R}}^{2}}}$, le cui linee geodetiche non cessano di essere, come nel caso precedente, rappresentate nel piano da linee rette, e quindi date da equazioni lineari rispetto ad $u$, $v$. Questo è il modo in cui si passa dalle formole della Memoria citata a quelle del presente scritto. La sola differenza essenziale fra i due casi è che in quelle le variabili $u$, $v$ possono ricevere tutti i valori reali, mentre in queste esse sono contenute entro certi limiti, che vengono facilmente assegnati.

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NOTA II

Scrivendo l’espressione dell’elemento lineare sotto ia forma

(1)	$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {w^{2}(du^{2}+dv^{2})+(udu+vdv)^{2}}{w^{4}}}$

si vede subito che per passare dalle primitive geodetiche fondamentali a due altre passanti per la medesima origine ed ortogonali fra loro servono le solile formolo della trasformazione delle coordinate rettangole in piano, quando l’origine è comune, cioè

$u=u'\cos \mu -v'\operatorname {sen} \,\mu$,

$v=v'\operatorname {sen} \,\mu +v'\cos \mu$,

$u'$, $v'$ essendo le nuove coordinato e $\mu$ l’angolo che la nuova fondamentale $v'=0$ fa colla primitiva $v=0$. Infatti da queste formolo si trae

$u^{2}+v^{2}=u'\,^{2}+v'\,^{2}$,

$du^{2}+dv^{2}=du'\,^{2}+dv'\,^{2}$,

e quindi la (1) diventa

(1)'	$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {w'\,^{2}(du'\,^{2}+dv'\,^{2})+(u'du'+v'dv')^{2}}{w'\,^{4}}}$,

conservando la primitiva sua forma. (Di qui si vede che le geodetiche ortogonali a quelle che divergono dall’origine sono rappresentate dalle corde del cerchio limite perpendicolari ai diametri che rappresentano queste ultime. Reciprocamente, affinchè due geodetiche intersecantisi ortogonalmente nel punto ($u$, $v$) siano rappresentale nel piano ausiliare da due rette ortogonali, bisogna che l’una o l’altra di quelle geodetiche passi per l’origine ($u=v=0$), come facilmente si rileva dalla forinola data nel testo per la trasformazione degli angoli. Questa proprietà diventa

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