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si trovano lo seguenti relazioni finali fra le $u$ , $v$ e le $u'''$ , $v'''$

u={\frac {u_{0}+pu'''-p_{1}v'''}{1+ru'''-r_{1}v'''}}

,

v={\frac {v_{0}+qu'''-q_{1}v'''}{1+ru'''-r_{1}v'''}}

.

Considerando tanto le $u$ , $v$ quanto le $u'''$ , $v'''$ come coordinate rettangole dei punti corrispondenti di due piani, queste formole esprimono una dipendenza omografica fra i piatti stessi, circostanza di cui si è parlato nella Memoria citata nella Nota I.

Se si confronta la primitiva espressione dell’elemento lineare in funzione delle $u$ , $v$ , con quella finale in funzione delle $u'''$ , $v'''$ , si trova che esse si possono far coincidere ponendo

${\frac {u}{a}}=\pm {\frac {u'''}{a_{0}}}$ , ${\frac {v}{a}}=\pm {\frac {v'''}{a_{0}}}$ ,

${\bigg (}{\text{od anche}}\;{\frac {u}{a}}=\pm {\frac {v'''}{a_{0}}}$ , ${\frac {v}{a}}=\pm {\frac {u'''}{a_{0}}}{\bigg )}$ ,

la scelta del segno essendo arbitraria in ciascuna formola. Ciò dimostra che la superficie pseudosferica, considerata come flessibile ed inestendibile, si può sovrapporre a sè medesima in modo che uno qualunque dei suoi punti ( $u_{0}$ , $v_{0}$ ) passi ad occupare la posizione di un qualunque filtro punto ( $u=v=0$ ), e che una qualunque dello geodetiche uscenti dal primo punto (p. es. la $v'''=0$ ) coincida in tutta la sua estensione con una qualunque di quelle uscenti dal secondo (p. es. colla $v=0$ ). Anzi la duplicità dei segni fa vedere che la sovrapposizione di due angoli geodetici di ugual grandezza formati intorno a quei due punti si può operare tanto direttamente quanto inversamente. Per es. l’angolo retto delle geodetiche $u'''=0$ , $v'''=0$ può essere applicato su quello delle $u=0$ , $v=0$ tanto facendo coincidere $u'''=0$ con $u=0$ e $v'''=0$ con $v=0$ , quanto facendo coincidere $u'''=0$ con $v=0$ e $v'''=0$ con $u=0$ . Dunque ogni pezzo di superficie può essere sovrapposto, tanto direttamente quanto inversamente, su qualunque parte della superficie stessa; epperò se in quel pezzo esistesse una figura (p. es. un triangolo geodetico) essa potrebbe ricevere sulla superficie tutti quegli spostamenti che una figura piana può ricevere nel suo piano, senza mai cessare d’essere eguale a sè stessa. Naturalmente quest’eguaglianza non si deve riferire che alle lunghezze delle linee ed all’ampiezza degli angoli, giacchè la curvatura assoluta delle lince non entra qui in considerazione¹.

La proprietà ora dimostrata era già nota, ma la dimostrazione precedente ci sembra possedere quel rigore che la natura del nostro soggetto richiede. Del resto il teorema di Gauss stabilisce che se la proprietà in discorso può competere a qual-

↑ L’eguaglianza relativa di cui ai parla sarebbe eguaglianza assoluta per un essere i cui concetti geometrici non eccedessero il campo a due dimensioni della superficie considerata, come i nostri non eccedono quello a tre dimensioni dell’ordinario spazio.

[1] L’eguaglianza relativa di cui ai parla sarebbe eguaglianza assoluta per un essere i cui concetti geometrici non eccedessero il campo a due dimensioni della superficie considerata, come i nostri non eccedono quello a tre dimensioni dell’ordinario spazio.

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