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Eguagliando queste espressioni con quelle date dalle (6) (5) si ottengono due relazioni, le quali forniscono

(7)

$u''={\frac {aa_{0}(u'-r_{0})}{a^{2}-r_{0}u'}}$,

$v''={\frac {a_{0}u_{0}v'}{a^{2}-r_{0}u'}}$,

${\bigg (}w_{0}={\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}}}{\bigg )}$.

La costante $a_{0}$ rimane propriamente indeterminata, perchè non si possono avere che equazioni fra i rapporti ${\frac {u'}{a}}$, ${\frac {v'}{a}}$ ed i rapporti ${\frac {u''}{a_{0}}}$, ${\frac {v''}{a_{0}}}$. Sembra però conveniente determinare $a_{0}$ colla condizione che per $u''=0$, cioè $u'=r_{0}$, si abbia $v'=v''$, ed allora si trova $a_{0}=w_{0}={\sqrt {a_{0}^{2}-u_{0}^{2}-r_{0}^{2}}}$. Ritenuto questo valore le formole precedenti danno

$u'={\frac {a(a_{0}r_{0}+au'')}{aa_{0}+r_{0}u''}}$,

$v'={\frac {aa_{0}v''}{aa_{0}+r_{0}u''}}$,

e questi valori, sostituiti nella (1)', danno

$ds^{2}={\text{R}}^{2}{\frac {(a_{0}^{2}-v''^{2})du''^{2}+2u''v''du''dv''+(a_{0}^{2}-u''^{2})dv''^{2}}{(a_{0}^{2}-u''^{2}-v''^{2})}}$.

Dunque anche il trasporto dell’origine non altera la forma dell’elemento lineare, il quale non differisce dal primitivo che per la sostituzione della $a_{0}$ alla $a$, cambiamento che non è punto essenziale.

Per ottenere finalmente un quarto sistema affatto scevro da legami col primo, surroghiamo le due fondamentali $u''=0$, $v''=0$ con due nuove geodetiche ortogonali aventi la stessa origine ($u_{0}$, $v_{0}$), il che sappiamo farsi ponendo

$u''=u'''\cos \nu -v'''\operatorname {sen} \nu$,

$v''=u'''\operatorname {sen} \nu +v'''\cos \nu$,

e sappiamo pure che tale sostituzione non cambia punto la forma dell’elemento. Vediamo così che la forma ammessa primitivamente per l’elemento lineare non è punto peculiare ad una determinata coppia di geodetiche fondamentali: il punto ($u=v=0$) può all’incontro essere uno qualunque della superficie, e la geodetica fondamentale $v=0$ può essere una qualunque tra quelle uscenti da questo punto.

Tenendo conto delle relazioni trovate fra le coordinate dei successivi sistemi, e ponendo per brevità

$p={\frac {au_{0}}{a_{0}r_{0}}}\cos \nu -{\frac {v_{0}}{r_{0}}}\operatorname {sen} \nu$,

$p_{1}={\frac {au_{0}}{a_{0}r_{0}}}\operatorname {sen} \nu +{\frac {v_{0}}{r_{0}}}\cos \nu$,

$q={\frac {av_{0}}{a_{0}r_{0}}}\cos \nu +{\frac {u_{0}}{r_{0}}}\operatorname {sen} \nu$,

$q_{1}={\frac {av_{0}}{a_{0}r_{0}}}\operatorname {sen} \nu -{\frac {u_{0}}{r_{0}}}\cos \nu$,

$r={\frac {r_{0}\cos \nu }{aa_{0}}}$,

$r_{1}={\frac {r_{0}\operatorname {sen} \nu }{aa_{0}}}$,