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che superficie, questa superficie è necessariamente fra quelle la cui curvatura sferica è costante.

Non tralasciamo di notare un risultato utile che si deduce facilmente da alcune delle formole precedenti. Il cerchio geodetico col centro nel punto, ($u_{0}$, $v_{0}$) e col raggio $\rho$ è rappresentato, nel terzo sistema, dall’equazione

$u^{2}+v^{2}=a_{0}^{2}{\text{tgh}}^{2}{\frac {\rho }{\text{R}}}$,

come risulta dalla formola (6) del testo. Ma dalle (7) di questa Nota, per essere $a_{0}=w_{0}={\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}}}$ si trae

$u''^{2}+v''^{2}={\bigg (}{\frac {a_{0}}{a_{2}-r_{0}u'}}{\bigg )}^{2}\{a^{2}[(u'-r_{0})^{2}+v'^{2}]-(r_{0}v')^{2}\}$,

e dalle (3) si ha pure

$u'={\frac {uu_{0}+vv_{0}}{r_{0}}}$,

$v'={\frac {u_{0}v-uv_{0}}{r_{0}}}$,

donde

$u'-r_{0}={\frac {u_{0}(u-u_{0})+v_{0}(v-v_{0})}{r_{0}}}$,

$v'={\frac {u_{0}(v-v_{0})-v_{0}(u-u_{0})}{r_{0}}}$,

dunque finalmente

${\frac {a^{2}\{(u-u_{0})^{2}+(v-v_{0})^{2}\}-(u_{0}v-uv_{0})^{2}}{(a^{2}-uu_{0}-vv_{0})}}^{2}={\text{tgh}}^{2}{\frac {\rho }{\text{R}}}$.

Quest’equazione fornisce la distanza geodetica $\rho$ di due punti qualunque ($u$, $v$) ($u_{0}$, $v_{0}$). Quando questi punti sono infinitamente vicini essa riconduce immediatamente all’espressione dell’elemento lineare da cui siamo partiti.

Sostituendo il cosh alla tgh la precedente equazione assume la forma più elegante

${\frac {a^{2}-uu_{0}-vv_{0}}{\sqrt {(a^{2}-u^{2}-v^{2})(a^{2}-u_{0}^{2}-v_{0}^{2})}}}\cosh {\frac {\rho }{\text{R}}}$.

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