Opere matematiche di Luigi Cremona/Sopra un problema generale di geometria

Sopra un problema generale di geometria

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Sopra un problema generale di geometria
Solution des questions 494 et 499, méthode de Grassmann et propriété de la cubique gauche Sulle superficie di second'ordine omofocali

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18.

SOPRA UN PROBLEMA GENERALE DI GEOMETRIA.



Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 169-171.



1. Nel fascicolo di gennaio 1860 del periodico: Nouvelles Annales de Mathématiques del sig. Terquem, a pag. 43, trovasi enunciato un problema, caso particolarissimo del seguente:

Data una retta , un punto in essa ed un punto fuori della medesima, trovare una curva (nel piano ) tale che conducendo una sua tangente qualsivoglia, e per la parallela a questa, i segmenti della intercetti fra queste rette e il punto siano legati da una data relazione algebrica del grado .

Siano , i due segmenti compresi il primo fra il punto e una tangente qualunque della curva, il secondo fra e la parallela alla tangente. Sia:

la relazione data. Posto ed assunte le rette , per assi delle coordinate rettilinee , avremo:

,     ,

ove , sono le coordinate del punto di contatto. Arriviamo così all’equazione alle derivate:

1)

la primitiva singolare della quale sarà evidentemente l’equazione della curva domandata.

Ma questa curva può essere ottenuta anche senza ricorrere alle derivate. Infatti, siano , le coordinate tangenziali della retta tangente la curva, cioè siano , [p. 130 modifica]i segmenti degli assi , compresi fra l’origine e la tangente suddetta. Avremo:

,     

quindi:

2)

sarà l’equazione in coordinate tangenziali della curva domandata. Resta a dedurne l’equazione in coordinate cartesiane. A tale uopo, osservo che l’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto della tangente è:

3)

e che la richiesta equazione cartesiana della curva sarà la condizione, che il punto appartenga alla curva. Rendo omogenea in , la (2) mediante la (3), onde avrò:

Le radici di questa equazione sono i valori del rapporto corrispondenti a tutte le tangenti della curva che passano pel punto : dunque l’equazione cartesiana della curva sarà la condizione che l’equazione precedente abbia due radici eguali, ossia avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in , :

Sia questo discriminante: sarà:

la primitiva singolare della (1), mentre la primitiva completa è data da una tangente qualunque della curva, cioè è la (3) ove i parametri , sono legati dalla condizione (2).

La curva domandata è dunque algebrica della classe (e dell’ordine ).

Siccome l’equazione (3) si può desumere dall’eliminazione di fra le due:

,     

così è manifesto che il precedente processo geometrico d’integrazione coincide col notissimo di Lagrange.

2. L’analogo problema nello spazio è il seguente: [p. 131 modifica]

Data una retta , un punto in essa, e due punti , fuori di essa, trovare una superficie tale che conducendo un suo piano tangente qualunque, e per e i piani ad esso paralleli, i segmenti di intercetti fra questi piani e il punto abbiano fra loro una data relazione algebrica del grado .

Siano , , i tre segmenti anzidetti, e sia:

la relazione data. Assumo , , per assi delle coordinate rettilinee , , ; posto , , avremo:

          

ove , , sono le coordinate del punto di contatto del piano tangente che si considera. Avremo dunque l’equazione alle derivate parziali:

1)

la primitiva singolare della quale sarà l’equazione della superficie domandata.

Siano , , le coordinate tangenziali del piano tangente la superficie, cioè siano , , i segmenti degli assi compresi fra questo piano e l’origine. Avremo:

,     ,     

epperò:

2)

sarà l’equazione in coordinate tangenziali della superficie domandata.

L’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto del piano è:

3)
.

Per esprimere la condizione che il punto appartenga alla superficie, rendo la (2) omogenea in , , mediante la (3); si avrà:

Questa equazione rappresenta, insieme colla (3), la superficie conica inviluppo de’ piani tangenti condotti alla superficie (2) dal punto (3). Se questo punto appartiene alla [p. 132 modifica]superficie (2), quel cono avrà un piano tangente doppio; epperò l’equazione in coordinate , , della superficie domandata avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in , , :

Sia questo discriminante; sarà:

la primitiva singolare della (1). La primitiva completa è evidentemente somministrata da un piano tangente qualsivoglia della superficie, cioè è la (3), ove i parametri arbitrari , , siano legati dalla condizione (2).

La superficie domandata è dunque algebrica della classe (e dell’ordine ).

L’equazione (3) si ottiene eliminando , fra le tre:

          

epperò il metodo geometrico seguito nella precedente integrazione coincide coll’analitico usato ordinariamente.


Milano, 1.º giugno 1860.