Opere matematiche di Luigi Cremona/Sopra un problema generale di geometria

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Sopra un problema generale di geometria

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Solution des questions 494 et 499, méthode de Grassmann et propriété de la cubique gauche

Sulle superficie di second'ordine omofocali

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[p. 129 modifica]

18.

SOPRA UN PROBLEMA GENERALE DI GEOMETRIA.

Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 169-171.

1. Nel fascicolo di gennaio 1860 del periodico: Nouvelles Annales de Mathématiques del sig. Terquem, a pag. 43, trovasi enunciato un problema, caso particolarissimo del seguente:

Data una retta OA, un punto O in essa ed un punto B fuori della medesima, trovare una curva (nel piano OAB) tale che conducendo una sua tangente qualsivoglia, e per B la parallela a questa, i segmenti della OA intercetti fra queste rette e il punto O siano legati da una data relazione algebrica del grado n.

Siano OM, ON i due segmenti compresi il primo fra il punto O e una tangente qualunque della curva, il secondo fra O e la parallela alla tangente. Sia:

F (OM, ON) = 0

la relazione data. Posto OB = b ed assunte le rette OA, OB per assi delle coordinate rettilinee y, x avremo:

OM = y — x

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}

, ON = — b

{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}

,

ove x, y sono le coordinate del punto di contatto. Arriviamo così all’equazione alle derivate:

1)	$\mathrm {F} \left(y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},\,-b{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)=0$

la primitiva singolare della quale sarà evidentemente l’equazione della curva domandata.

Ma questa curva può essere ottenuta anche senza ricorrere alle derivate. Infatti, siano u, v le coordinate tangenziali della retta tangente la curva, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$ , $-{\frac {1}{v}}$ [p. 130 modifica]i segmenti degli assi OB, OA compresi fra l’origine O e la tangente suddetta. Avremo:

OM =

-{\frac {1}{v}}

, ON =

{\frac {bu}{v}}

quindi:

2)	$\mathrm {F} \left(-{\frac {1}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right)=0$

sarà l’equazione in coordinate tangenziali della curva domandata. Resta a dedurne l’equazione in coordinate cartesiane. A tale uopo, osservo che l’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto della tangente (u, v) è:

3)	ux + vy + 1 = 0

e che la richiesta equazione cartesiana della curva sarà la condizione, che il punto (x, y) appartenga alla curva. Rendo omogenea in u, v la (2) mediante la (3), onde avrò:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right)=0.$

Le radici di questa equazione sono i valori del rapporto u : v corrispondenti a tutte le tangenti della curva che passano pel punto (x, y): dunque l’equazione cartesiana della curva sarà la condizione che l’equazione precedente abbia due radici eguali, ossia avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in u, v:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right).$

Sia Δ(x, y) questo discriminante: sarà:

Δ(x, y) = 0

la primitiva singolare della (1), mentre la primitiva completa è data da una tangente qualunque della curva, cioè è la (3) ove i parametri u, v sono legati dalla condizione (2).

La curva domandata è dunque algebrica della classe n (e dell’ordine n(n — 1)).

Siccome l’equazione (3) si può desumere dall’eliminazione di ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ fra le due:

$y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{v}}$ , $-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {u}{v}}$

così è manifesto che il precedente processo geometrico d’integrazione coincide col notissimo di Lagrange.

2. L’analogo problema nello spazio è il seguente: [p. 131 modifica]

Data una retta OA, un punto O in essa, e due punti B, C fuori di essa, trovare una superficie tale che conducendo un suo piano tangente qualunque, e per B e C i piani ad esso paralleli, i segmenti di OA intercetti fra questi piani e il punto O abbiano fra loro una data relazione algebrica del grado n.

Siano OL, OM, ON i tre segmenti anzidetti, e sia:

F (OL, OM, ON) = 0

la relazione data. Assumo OA, OB, OC per assi delle coordinate rettilinee x, y, z; posto OB = b, OC = c, avremo:

$\mathrm {OL} =x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}},$ $\mathrm {OM} =-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}},$ $\mathrm {ON} =-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$

ove x, y, z sono le coordinate del punto di contatto del piano tangente che si considera. Avremo dunque l’equazione alle derivate parziali:

1)	$\mathrm {F} \left(x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}},\,-b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}},\,-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\right)=0$

la primitiva singolare della quale sarà l’equazione della superficie domandata.

Siano u, v, w le coordinate tangenziali del piano tangente la superficie, cioè siano $-{\frac {1}{u}}$ , $-{\frac {1}{v}}$ , $-{\frac {1}{w}}$ i segmenti degli assi compresi fra questo piano e l’origine. Avremo:

OL =

-{\frac {1}{u}}

, OM =

{\frac {bv}{u}}

, ON =

{\frac {cw}{u}}

epperò:

2)	$\mathrm {F} \left(-{\frac {1}{u}},\,{\frac {bv}{u}},{\frac {cw}{u}}\right)=0$

sarà l’equazione in coordinate tangenziali della superficie domandata.

L’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto del piano (u, v, w) è:

3)	ux + vy + wz + 1 = 0.

Per esprimere la condizione che il punto (x, y, z) appartenga alla superficie, rendo la (2) omogenea in u, v, w mediante la (3); si avrà:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy+wz}{u}},\,{\frac {bv}{u}},{\frac {cw}{u}}\right)=0.$

Questa equazione rappresenta, insieme colla (3), la superficie conica inviluppo de’ piani tangenti condotti alla superficie (2) dal punto (3). Se questo punto appartiene alla [p. 132 modifica]superficie (2), quel cono avrà un piano tangente doppio; epperò l’equazione in coordinate x, y, z della superficie domandata avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in u, v, w:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy+wz}{u}},\,{\frac {bv}{u}},\,{\frac {cw}{u}}\right).$

Sia Δ (x, y, z) questo discriminante; sarà:

Δ (x, y, z) = 0

la primitiva singolare della (1). La primitiva completa è evidentemente somministrata da un piano tangente qualsivoglia della superficie, cioè è la (3), ove i parametri arbitrari u, v, w siano legati dalla condizione (2).

La superficie domandata è dunque algebrica della classe n (e dell’ordine n(n — 1)²).

L’equazione (3) si ottiene eliminando ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}$ , ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$ fra le tre:

x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}=-{\frac {1}{u}},

-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {v}{u}},

-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}={\frac {w}{u}},

epperò il metodo geometrico seguito nella precedente integrazione coincide coll’analitico usato ordinariamente.

Milano, 1.º giugno 1860.