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sopra un problema generale di geometria.

i segmenti degli assi OB, OA compresi fra l’origine O e la tangente suddetta. Avremo:

OM = $-{\frac {1}{v}}$,     ON = ${\frac {bu}{v}}$

quindi:

2)	$\mathrm {F} \left(-{\frac {1}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right)=0$

sarà l’equazione in coordinate tangenziali della curva domandata. Resta a dedurne l’equazione in coordinate cartesiane. A tale uopo, osservo che l’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto della tangente (u, v) è:

3)	ux + vy + 1 = 0

e che la richiesta equazione cartesiana della curva sarà la condizione, che il punto (x, y) appartenga alla curva. Rendo omogenea in u, v la (2) mediante la (3), onde avrò:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right)=0.$

Le radici di questa equazione sono i valori del rapporto u : v corrispondenti a tutte le tangenti della curva che passano pel punto (x, y): dunque l’equazione cartesiana della curva sarà la condizione che l’equazione precedente abbia due radici eguali, ossia avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in u, v:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy}{v}},\,{\frac {bu}{v}}\right).$

Sia Δ(x, y) questo discriminante: sarà:

Δ(x, y) = 0

la primitiva singolare della (1), mentre la primitiva completa è data da una tangente qualunque della curva, cioè è la (3) ove i parametri u, v sono legati dalla condizione (2).

La curva domandata è dunque algebrica della classe n (e dell’ordine n(n — 1)).

Siccome l’equazione (3) si può desumere dall’eliminazione di ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$ fra le due:

$y-x{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {1}{v}}$,     $-{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {u}{v}}$

così è manifesto che il precedente processo geometrico d’integrazione coincide col notissimo di Lagrange.

2. L’analogo problema nello spazio è il seguente: