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sopra un problema generale di geometria. | 131 |
Data una retta OA, un punto O in essa, e due punti B, C fuori di essa, trovare una superficie tale che conducendo un suo piano tangente qualunque, e per B e C i piani ad esso paralleli, i segmenti di OA intercetti fra questi piani e il punto O abbiano fra loro una data relazione algebrica del grado n.
Siano OL, OM, ON i tre segmenti anzidetti, e sia:
la relazione data. Assumo OA, OB, OC per assi delle coordinate rettilinee x, y, z; posto OB = b, OC = c, avremo:
ove x, y, z sono le coordinate del punto di contatto del piano tangente che si considera. Avremo dunque l’equazione alle derivate parziali:
1) |
la primitiva singolare della quale sarà l’equazione della superficie domandata.
Siano u, v, w le coordinate tangenziali del piano tangente la superficie, cioè siano , , i segmenti degli assi compresi fra questo piano e l’origine. Avremo:
epperò:
2) |
sarà l’equazione in coordinate tangenziali della superficie domandata.
L’equazione in coordinate tangenziali del punto di contatto del piano (u, v, w) è:
3) |
ux + vy + wz + 1 = 0.
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Per esprimere la condizione che il punto (x, y, z) appartenga alla superficie, rendo la (2) omogenea in u, v, w mediante la (3); si avrà:
Questa equazione rappresenta, insieme colla (3), la superficie conica inviluppo de’ piani tangenti condotti alla superficie (2) dal punto (3). Se questo punto appartiene alla