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18.

SOPRA UN PROBLEMA GENERALE DI GEOMETRIA.



Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 169-171.



1. Nel fascicolo di gennaio 1860 del periodico: Nouvelles Annales de Mathématiques del sig. Terquem, a pag. 43, trovasi enunciato un problema, caso particolarissimo del seguente:

Data una retta OA, un punto O in essa ed un punto B fuori della medesima, trovare una curva (nel piano OAB) tale che conducendo una sua tangente qualsivoglia, e per B la parallela a questa, i segmenti della OA intercetti fra queste rette e il punto O siano legati da una data relazione algebrica del grado n.

Siano OM, ON i due segmenti compresi il primo fra il punto O e una tangente qualunque della curva, il secondo fra O e la parallela alla tangente. Sia:

F (OM, ON) = 0


la relazione data. Posto OB = b ed assunte le rette OA, OB per assi delle coordinate rettilinee y, x avremo:

OM = yx,     ON = — b,


ove x, y sono le coordinate del punto di contatto. Arriviamo così all’equazione alle derivate:

1)


la primitiva singolare della quale sarà evidentemente l’equazione della curva domandata.

Ma questa curva può essere ottenuta anche senza ricorrere alle derivate. Infatti, siano u, v le coordinate tangenziali della retta tangente la curva, cioè siano ,

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