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sopra un problema generale di geometria.

superficie (2), quel cono avrà un piano tangente doppio; epperò l’equazione in coordinate x, y, z della superficie domandata avrà per primo membro il discriminante della funzione omogenea in u, v, w:

$\mathrm {F} \left({\frac {ux+vy+wz}{u}},\,{\frac {bv}{u}},\,{\frac {cw}{u}}\right).$

Sia Δ (x, y, z) questo discriminante; sarà:

Δ (x, y, z) = 0

la primitiva singolare della (1). La primitiva completa è evidentemente somministrata da un piano tangente qualsivoglia della superficie, cioè è la (3), ove i parametri arbitrari u, v, w siano legati dalla condizione (2).

La superficie domandata è dunque algebrica della classe n (e dell’ordine n(n — 1)²).

L’equazione (3) si ottiene eliminando ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}$, ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}$ fra le tre:

$x-y{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}-z{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}=-{\frac {1}{u}},$     $-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}={\frac {v}{u}},$     $-{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}={\frac {w}{u}},$

epperò il metodo geometrico seguito nella precedente integrazione coincide coll’analitico usato ordinariamente.

Milano, 1.º giugno 1860.

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