Opere matematiche di Luigi Cremona/Sulle superficie di second'ordine omofocali

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Sulle superficie di second’ordine omofocali

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Sopra un problema generale di geometria

Sulle coniche e sulle superficie di second'ordine congiunte

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19.

SULLE SUPERFICIE DI SECOND’ORDINE OMOFOCALI.

Chasles. Résumé d’une théorie des surfaces du second ordre homofocales. Comptes Rendus, 1860, n. 24 et 25.

Annali di Matematica pura ed applicata, serie I, tomo III (1860), pp. 241-244.

In una memoria inserita in questi Annali di matematica (marzo ed aprile 1859), io ho studiato la distribuzione de’ centri d’un sistema di superficie di second’ordine inscritte in una stessa sviluppabile (reale o immaginaria) ed aventi il comune tetraedro polare reale. Ivi ho dimostrato che le quattro coniche, linee di stringimento della sviluppabile, o son tutte reali, ovvero due sono reali e due immaginarie.

Assumo tre de’ quattro piani costituenti il tetraedro polare, come piani coordinati, e suppongo che il quarto piano sia tutto a distanza infinita. Siano t : u : v : w le coordinate tangenziali (di Plücher) di un piano qualsivoglia, cioe siano

$-{\frac {w}{t}}$ , $-{\frac {w}{u}}$ , $-{\frac {w}{v}}$

i segmenti da esso determinati sugli assi. Allora, come risulta dalla citata memoria, una superficie qualunque del sistema sarà rappresentabile coll’equazione:

1)	(b — c + iα)t² + (c — a + iβ)u² + (a — b + iγ)v² + (α + β + γ)w² = 0

ove i è il parametro variabile che serve ad individuare ciascuna superficie del sistema, ed a, b, c, α, β, γ sono quantità costanti legate fra loro dall’unica condizione:

2)	aα + bβ + cγ = 0.

Ponendo nella (1) successivamente i = ∞, ${\frac {c-b}{\alpha }}$ , ${\frac {a-c}{\beta }}$ , ${\frac {b-a}{\gamma }}$ si ottengono le quattro [p. 134 modifica]coniche di stringimento:

3)	${\begin{cases}\alpha t^{2}&+\beta u^{2}&+\gamma v^{2}&&=0\\&cu^{2}&-bv^{2}&+\alpha w^{2}&=0\\-ct^{2}&&+av^{2}&+\beta w^{2}&=0\\bt^{2}&-au^{2}&&+\gamma w^{w}&=0\end{cases}}$

la prima delle quali è tutta all’infinito.

La forma dell’equazione (1) mostra che tutte le superficie del sistema hanno il centro all’origine, e che per esse i piani coordinati costituiscono una comune terna di piani diametrali coniugati.

Si supponga la prima conica immaginaria cioè α, β, γ abbiano lo stesso segno, ed invero, com’è lecito supporre, positivo. In virtù della (2), le a, b, c non potranno esser tutte positive, nè tutte negative; perciò, delle altre tre coniche, una è immaginaria e le altre due sono reali ma di specie diversa: un’ellisse ed un’iperbole.

Esprimiamo ora le condizioni che la prima conica sia circolare. La sfera di raggio = 1 e col centro all’origine è rappresentata dall’equazione:

t² sen² λ + u² sen² μ +v² sen² ν — 2uv (cos λ — cos μ cos ν)
— 2vt (cos μ — cos ν cos λ) — 2tu (cos ν — cos λ cos μ)
= w² (1 — cos² λ — cos² μ — cos² ν + 2 cos λ cos μ cos ν),

ove λ, μ, ν sono gli angoli fra gli assi coordinati. Ora, il cerchio immaginario all’infinito è la linea dell’ideale contatto fra la sfera ed il suo cono assintotico; onde, facendo w = 0 nell’equazione precedente, avremo l’equazione del cerchio immaginario richiesto.

Affinchè l’equazione risultante coincida colla prima delle (3) dev’essere:

cos λ = cos μ = cos ν = 0,

cioè i piani diametrali comuni alle superficie (1) devono essere i loro piani principali; ed inoltre:

α = β = γ.

Posto, com’è lecito, α = 1, l’equazione (1) diviene:

(b — c + i)t² + (c — a + i)u² + (a — b + i)v² + 3w² = 0.

I quadrati de’ semiassi di questa superficie sono:

${\frac {c-b-i}{3}},{\frac {a-c-i}{3}},{\frac {b-a-i}{3}};$

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quindi le superficie inscritte in una sviluppabile (immaginaria) per la quale il cerchio immaginario all’infinito sia una linea di stringimento, sono omofocali. E reciprocamente, le superficie omofocali si ponno risguardare come inscritte in una sviluppabile immaginaria tagliata dal piano all’infinito secondo il cerchio immaginario, cioè secondo la linea di contatto fra una sfera arbitraria ed il suo cono assintotico.

Di qui segue che se U = 0 è l’equazione, in coordinate tangenziali, di una superficie di second’ordine, riferita ad assi qualsivogliano, l’equazione generale delle superficie omofocali ad essa sarà:

U + iS = 0

ove:

S = t² sen² λ + u² sen μ + v² sen ν — 2 uv (cos λ — cos μ cos ν)
— 2 vt (cos μ — cos ν cos λ) — 2 tu (cos ν — cos λ cos μ)

(λ, μ, ν angoli fra gli assi).

Questo risultato analitico, esprimente il suenunciato teorema sulle superficie omofocali, teorema che è stato dato la prima volta dall’illustre Chasles nel suo Aperçu historique (nota 31ª), ci pone in grado di dare semplicissime dimostrazioni de’ quattro teoremi generali recentemente dati dal medesimo autore nei Comptes rendus (11 giugno 1860), come fondamento di una teoria delle superficie medesime.

Sia:

A = F + iS, A’ = F + iS,

B = A + θU, B’ = A’ + θ’U;

ne segue:

θ’B — θB’ = (θ’ — θ)F + (θ’i — θi’)S,

e:

B — B’ = (θ’ — θ)U + (i — i’)S

cioè:

“Date due superficie omofocali A, A’ ed un’altra superficie qualunque U, se nelle due sviluppabili (UA), (UA’) si inscrivono rispettivamente due superficie qualsivogliano B, B’; la sviluppabile (BB’) sarà simultaneamente circoscritta ad una superficie omofocale ad A, A’ e ad un’altra superficie omofocale ad U„.

Posto:

A’ = A + θS, B = A + ωU,

si ha:

A’ + ωU = B + θS;

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dunque:

“Date due superficie omofocali A, A’ ed una terza superficie qualunque U, se nella sviluppabile (UA) s’inscrive una superficie B; si potrà nella sviluppabile (UA’) inscrivere una superficie omofocale a B„.

Posto:

A’ = A + θ’S,		A’’ = A + θ’’S,
B’ = A’ + ω’U,		B’’ = A’’ + ω’’U,

si ricava:

θ’’B’ — θ’B’’ = (θ’’ — θ’) A + (θ’’ω’ — θ’ω’’) U;

dunque:

“Date tre superficie omofocali A, A’, A’’ ed una quarta superficie qualunque U, se nelle sviluppabili (UA’), (UA’’) si inscrivono rispettivamente le superficie B’, B’’; le due sviluppabili (B’B’’), (UA) saranno circoscritte ad una stessa superficie (di second’ordine)„.

Ponendo:

A = U + aV,		B = U + bV,		C = U + cV,
A’ = A + a’S,		B’ = B + b’S,

avremo:

(c — b) A’ + (a — c) B’ = (a — b) C + (a’(c — b) + b’(a — c)) S

ed inoltre:

b’A’ — a’B’ = b’A — a’B;

dunque:

“Quando tre superficie A, B, C sono inscritte in una stessa sviluppabile, se si descrivono due superficie A’, B’ omofocali rispettivamente ad A e B, si potrà inscrivere nella sviluppabile (A’B’) una superficie C’ omofocale a C. E le due sviluppabili (ABC), (A’B’C’) saranno circoscritte ad una stessa superficie (di second’ordine).

Bologna 1.º dicembre 1860.