Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane
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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)
Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane
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INTRODUZIONE
AD UNA
TEORIA GEOMETRICA
DELLE
CURVE PIANE.
PEL
D.R LUIGI CREMONA,
Professore di Geometria Superiore nella R. Università di Bologna.
BOLOGNA,
TIPI GAMBERINI E PARMEGGIANI.
1862.
MEMORIA
letta davanti all’Accademia delle scienze dell’Istituto di Bologna nella sessione 19 dicembre 1861, e pubblicata il 10 ottobre 1862 nel tomo XII (1.ª Serie) delle Memorie di detta Accademia — da pag. 305 a pag. 436.
AL
COMMENDATORE PROFESSORE
AL QUALE È DOVUTA TANTA PARTE DI PROGRESSO
DELLE SCIENZE MATEMATICHE
IN ITALIA,
QUEST’OPUSCOLO È DEDICATO
IN SEGNO DI AMMIRAZIONE, GRATITUDINE ED AMICIZIA
DAL SUO ANTICO DISCEPOLO,
L’AUTORE.
SOMMARIO.
Prefazione |||
Pag. 317
Sezione I. Principii fondamentali |||
» 319
Art. I. Del rapporto anarmonico |||
» ivi
Relazioni fra i rapporti anarmonici di quattro punti (1). Rapporto anarmonico di quattro rette (2). Problemi (3). Sistema armonico di quattro punti o di quattro rette (4). Proprietà armonica del quadrilatero completo (5). Condizione perchè un’equazione di quarto grado rappresenti un sistema armonico (6).
Art. II. Projettività delle punteggiate e delle stelle |||
» 325
Forme geometriche projettive (7). Eguaglianza de’ rapporti anarmonici (8). Punteggiate projettive sovrapposte (9). Stelle projettive concentriche (10).
Art. III. Teoria de’ centri armonici |||
» 328
Centri armonici di un sistema di punti in linea retta, rispetto ad un dato polo (11). Relazione di reciprocità fra un centro armonico ed il polo (12). Relazione fra i centri armonici di due gradi diversi (13). Centri armonici relativi a due poli (14). Casi particolari (15— 17). Le proprietà de’ centri armonici non si alterano nella proiezione centrale (18). Assi armonici (19, 20).
Art. IV. Teoria dell’involuzione |||
» 336
Gruppi di punti in involuzione (21). Punti doppi d’un’involuzione (22). Rapporto anarmonico di quattro gruppi (23). Involuzioni projettive (24). Involuzione di secondo grado (25). Sistema equianarmonico di quattro punti (26). Condizione perchè un’equazione di quarto grado rappresenti un sistema equianarmonico (27).
Art. V. Definizioni relative alle linee piane |||
» 344
Ordine di una linea luogo di punti; classe di una linea inviluppo di rette (28). Tangenti doppie e stazionarie (29). Punti doppi e cuspidi (30). Punti e tangenti multiple (31).
Art. VI. Punti e tangenti comuni a due curve |||
» 344
Punti comuni a due curve d’ordini dati. Influenza de’ punti multipli; tangenti comuni (32).
A quante condizioni deve sodisfare una curva, se vuolsi ch’essa passi un dato numero di volte per un punto dato (33)? Quante condizioni determinano una curva di dato ordine (34)? Numero massimo de’ punti doppi di una curva (35).
Art. VIII. Porismi di Chasles e teorema di Carnot |||
» 350
Porismi generali di Chasles (36,37). Teorema di Carnot (38). Applicazione alle curve di secondo e terz’ordine (39). Teorema relativo alle tangenti di una curva (40). Fascio di curve (41).
Art. IX. Altri teoremi fondamentali sulle curve piane |||
» 358
Teorema di Jacobi (42). Teorema di Plücker (43). Teorema di Cayley (44). Applicazioni (45).
Art. X. Generazione delle linee piane |||
Pag. 363
Rapporto anarmonico di quattro curve in un fascio (46). Casi particolari relativi ai punti-base d’un fascio (47, 48). Involuzione determinata da un fascio di curve sopra una retta arbitraria (49). Luogo de’ punti comuni alle curve corrispondenti in due fasci projettivi (50—52). Problema sulla generazione di una curva (53). Teoremi di Chasles (54, 55). Teorema di Jonquières (56, 57). Differenti soluzioni del problema (58).
Art. XI. Costruzione delle curve di second’ordine |||
» 372
Generazione di una conica mediante due stelle projettive (59), e mediante due punteggiate projettive (60). Identità delle curve di second’ordine con quelle di seconda classe (61). Problemi (62—64).
» 376
Generazione di una cubica mediante due fasci projettivi, l’uno di rette, l’altro di coniche (65). Metodo di Chasles per descrivere la cubica determinata da nove punti dati (66). Diversi teoremi sulle curve di terz’ordine (67).
Sezione II. Teoria delle curve polari |||
» 376
Art. XIII. Definizione e proprietà fondamentali delle curve polari |||
» ivi
Polari di un punto rispetto alla curva fondamentale (68, 69). Rette tangenti condotte dal polo alla curva fondamentale (70). Polari di un punto della curva fondamentale (71, 72). Influenza dei punti multipli della curva fondamentale sulle polari di un polo qualunque (73, 74). Teorema di Maclaurin (75). Teorema di Cayley (76). Le prime polari de’ punti di una retta formano un fascio (77). Punti doppi delle polari (78, 79). Proprietà caratteristica dei flessi (80). Inviluppo delle rette polari de’ punti di una data linea (81). Inviluppi polari (82).
Art. XIV. Teoremi relativi ai sistemi di curve |||
» 388
Luogo de’ punti comuni a due curve corrispondenti in due serie projettive (83). Polari di un punto rispetto alle curve d’una serie (84). Curve d’una serie toccate da una retta data (85). Luogo dei poli di una retta rispetto alle curve d’una serie (86). Curve d’una serie toccate da una curva data (87). Punti doppi delle curve d’un fascio (88, 89). Curva Steineriana (88, d). Luogo de’ punti di contatto fra le curve di due fasci (90). Curva Hessiana (90, a). Punti di contatto fra le curve di tre fasci (91). Inviluppo delle tangenti comuni ne’ punti di contatto fra le curve di due fasci (91, a).
Art. XV. Reti geometriche |||
» 396
Definizioni (92). Curva Jacobiana di tre curve date (93, 94). Hessiana di una rete (95). Rete di curve passanti per uno stesso punto (96). Rete di curve toccantisi in uno stesso punto (97). Curva Steineriana di una rete (98, a).
Art. XVI. Formole di Plücker |||
» 404
Formola che dà la classe di una curva (99). Formole pei flessi e per le tangenti doppie (100). Altra relazione fra l’ordine, la classe e le singolarità di una curva (101). Caratteristiche di una curva di dato ordine priva di punti multipli (102).
» 406
Ordine e singolarità della linea inviluppata dalle rette polari dei punti di una curva data (103). Proprietà di una rete (103, b). Inviluppo delle polari (di un dato ordine) dei punti di una curva data (104). Prima polare di una curva di classe data (104, d). Modo di determinare l’ordine di certi inviluppi (104, f). Doppia definizione delle polari di un punto (103, f; 104, g). Teoremi sulle polari delle curve (104, h, k). Luogo dei poli congiunti ad un polo variabile (105). Luogo delle intersezioni delle polari prima e seconda di un polo variabile (106).
Art. XVIII. Applicazione alle curve di second’ordine |||
» 412
Poli e polari nelle coniche (107). Poli coniugati, polari coniugate; triangoli coniugati (108). Teorema di Hesse (109). Curve polari reciproche (110). Hessiana di una rete di coniche coniugate ad uno stesso triangolo (110, b). Coniche polari reciproche (111). Conica le cui tangenti tagliano armonicamente due coniche date; ecc. (111, e). Triangoli coniugati ad una conica ed inscritti o circoscritti ad un’altra (111, d, f).
Per un dato punto condurre una retta che ivi tocchi la polare d’alcun suo punto (112). Luogo di un punto una indicatrice del quale passi per un punto dato (113). Inviluppo delle indicatrici dei punti di una data curva (114). Luogo di un punto un’indicatrice del quale tocchi una curva data (115). Luogo di un punto variabile che unito a due punti fissi dia due rette coniugate rispetto alla conica polare del primo punto (116). Generalizzazione dell’antecedente problema (117).
» 425
Le rette polari dei punti dell’Hessiana inviluppano la Steineriana (118). Caratteristiche della Steineriana (118, b—d). Le prime polari dei punti di una tangente doppia della Steineriana si toccano fra loro in due punti (119, a). Le prime polari dei punti di una tangente stazionaria della Steineriana si osculano fra loro in uno stesso punto (119, b). Un punto doppio della Steineriana è polo di una prima polare dotata di due punti doppi (120). La prima polare di una cuspide della Steineriana è dotata di un punto stazionario (121). L’ultima polare di una curva data tocca la Steineriana nei punti corrispondenti alle intersezioni della curva data coll’Hessiana (122).
Art. XXI. Proprietà delle seconde polari |||
» 429
Seconde polari pure e miste di punti (123). Inviluppo delle curve d’una serie d’indice 2 (124). Seconde polari pure e miste di rette (125). Le seconde polari pure e miste delle rette passanti per un punto dato formano una rete (126). La seconda polare pura di una retta tocca l’Hessiana ovunque l’incontra (127). Rette le cui seconde polari hanno un punto doppio (128). Luogo di un punto la conica polare del quale sia inscritta in un triangolo coniugato ad una conica data (129).
Sezione III. Curve del terz’ordine |||
» 436
Art. XXII. L’Hessiana e la Cayleyana di una curva del terz’ordine |||
» ivi
Retta polare e conica polare di un punto; una retta ha quattro poli; da un punto qualunque arrivano sei tangenti ad una cubica (130). Il rapporto anarmonico delle quattro tangenti condotte ad una cubica da un suo punto qualunque è costante (131). Cubica armonica; cubica equianarmonica (131, b). La Steineriana e l’Hessiana sono una curva unica (132). Luogo delle coppie di poli coniugati rispetto alle coniche di una rete (132, b). L’Hessiana è l’inviluppo delle rette polari de’ suoi punti (132, c). Punti corrispondenti dell’Hessiana; inviluppo della retta che li unisce (133). Quadrilatero i cui vertici sono punti corrispondenti dell’Hessiana (134). La Cayleyana è il luogo de’ poli congiunti ai punti dell’Hessiana (135). Una tangente della Cayleyana è divisa armonicamente dal punto di contatto e dall’Hessiana (135, c). Poloconiche pure e miste (136). Altre definizioni dell’Hessiana e della Cayleyana (136, b). Ogni poloconica pura tocca l’Hessiana in tre punti (137). Conica polare di un punto dell’Hessiana rispetto all’Hessiana medesima (137, b). Conica satellite (138). L’Hessiana è il luogo de’ punti satelliti delle rette che toccano la Cayleyana (138, a).
Art. XXIII. Fascio di curve del terz’ordine aventi i medesimi flessi |||
» 445
Polari armoniche de’ flessi di una cubica (139). I flessi sono a tre a tre in linea retta (139, b). Cubiche sizigetiche (140). Pei flessi di una cubica passano quattro sistemi di tre rette (140, b). Punti ove l’Hessiana è toccata dalle tangenti stazionarie della cubica fondamentale (141). Punti di contatto fra l’Hessiana e la Cayleyana (141, b). La Cayleyana e l’Hessiana hanno proprietà reciproche (141, d). Proprietà dei trilateri sizigetici (142). Una cubica è Hessiana di tre cubiche ad essa sizigetiche (143). Relazione segmentaria (144). Una cubica ha soltanto tre flessi reali (144, a). L’Hessiana di una cubica equianarmonica è un trilatero; ed una cubica armonica è l’Hessiana della propria Hessiana (145).
Una cubica ha tre sistemi di punti corrispondenti (146). Quadrilateri completi inscritti in una cubica (146, b). Proprietà di quattro punti di una cubica, aventi lo stesso tangenziale (147). Polari di un punto rispetto a più cubiche sizigetiche (148). Proprietà de’ punti di contatto delle tangenti condotte ad una cubica da tre suoi punti in linea retta (149). Tre sistemi di coniche tangenti in tre punti ad una cubica; coniche aventi con essa un contatto sipunto (150).