Matematiche Fascicolo terzo/Tema terzo - Capitolo III/Caso III - Estrazione delle Radici delle Frazioni

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Anonimo - Matematiche Fascicolo terzo (1839)

Caso III - Estrazione delle Radici delle Frazioni

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Tema terzo - Capitolo III - Caso II - Divisione delle Frazioni

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CASO III.

Estrazione delle Radici delle Frazioni.

8. Distinguendo al solito le radici delle Frazioni in perfette ed imperfette (Tema II.°, pag. 26), noi intendiamo per radice quadrata, cubica... perfetta di una [p. 72 modifica]proposta frazione un’altra frazione, di cui facendo respettivamente il quadrato, il cubo,... resulti precisamente la frazione proposta medesima, la quale si dirà perciò una potenza perfetta della seconda; e per radice quadrata, cubica,... imperfetta noi intendiamo un’altra frazione, di cui facendo pure respettivamente il quadrato, il cubo,... resulti una terza frazione più piccola della proposta, ma tale, che ogni altra del medesimo denominatore non possa esprimere, come suol dirsi, più da vicino il valore della proposta medesima, la quale a vicenda si dirà una potenza piucchè perfetta della radice trovata.

Il caso di radice perfetta ha luogo evidentemente, quando i termini della frazione proposta, primi trà loro, sono ambedue potenze perfette, ciascuno del medesimo grado della radice, che si vuole estrarre; ed in questo caso è chiaro, che, seguendo la regola inversa a quella per la Elevazione a potenze (3), bisognerà estrarre la radice dall’uno e dall’altro termine separatamente; e la frazione, che ne resulterà dopo questa doppia operazione, sarà la radice perfetta voluta.

Così i termini della frazione per es. ${\frac {49}{100}}$ essendo quadrati perfetti, uno di 7 e l’altro di 10, la [p. 73 modifica]di lei radice quadrata perfetta sarà ${\frac {7}{10}}$ ; ed i termini della frazione per es. ${\frac {8}{27}}$ essendo cubi perfetti respettivamente di 2 e di 3, la radice cubica perfetta di lei sarà ${\frac {2}{3}}$ .

Il caso poi di radice imperfetta s’incontra, quando i termini della frazione proposta, primi trà loro, non sono contemporaneamente ambedue potenze perfette del medesimo grado della radice, che vuolsi estrarre.

In questo caso è facile persuadersi, che otterremo l’intento col moltiplicare i due termini della frazione proposta per un numero tale, che il denominatore divenga una potenza perfetta di cotesto grado; giacchè allora estraendo separatamente da esso la radice perfetta, e la imperfetta dal nuovo numeratore, questa divisa per quella col semplice taglio —, sarà la radice imperfetta, che si cerca.

Così volendosi la radice quadrata imperfetta della frazione per es. ${\frac {5}{24}}$ , se si moltiplicano ambedue i suoi termini per 6, resulterà la trasformata equivalente ${\frac {30}{144}}$ , in cui la radice perfetta del denominatore essendo 12, e 5 la imperfetta [p. 74 modifica]del numeratore, si avrà ${\frac {5}{12}}$ per la radice quadrata imperfetta voluta.

Parimente volendosi la radice cubica imperfetta della frazione per es. ${\frac {3}{32}}$ , se si moltiplicano ambedue i suoi termini per 16, resulterà la trasformata equivalente ${\frac {48}{512}}$ , in cui la radice perfetta del denominatore essendo 8, e 3 la imperfetta del numeratore, si avrà la frazione ${\frac {3}{8}}$ per la radice cubica imperfetta voluta.

Del resto proposta una frazione, ridotta ai minimi termini, di cui il denominatore non sia potenza perfetta di un certo grado, moltiplicando in ogni caso un tal denominatore per una sua potenza di un grado inferiore di una unità a quella voluta, egualmentechè il numeratore, si avrà una trasformata, il denominatore della quale sarà la potenza perfetta voluta

Così moltiplicando i due termini della frazione per es. ${\frac {2}{3}}$ per 3, 9, 27,...., potenze prima, seconda, terza..., respettive del denominatore 3 si hanno le trasformate equivalenti ${\frac {6}{9}}$ , ${\frac {18}{27}}$ , ${\frac {54}{81}}$ ,..., i denominatori delle [p. 75 modifica]quali sono respettivamente la seconda, terza, quarta,... potenza del medesimo denominatore 3.

9. Ponendo quì fine al Tema sulle Frazioni in generale, da quanto abbiamo precedentemente detto sembra potersi rilevare, che non essendo esse altro per noi, che mere caratteristiche di operazioni, cioè di moltiplicazioni, e divisioni insieme, da farsi sopra un numero arbitrario sottinteso, le nuove Operazioni, che abbiamo fin qui insegnate intorno alle medesime, si cumulano, per così dire, sulle operazioni prime in modo, che non restano poi a farsi sul numero medesimo sottinteso (soggetto finale comune di tutte), che delle operazioni simili, cioè delle moltiplicazioni e delle divisioni soltanto.