Matematiche Fascicolo secondo/Tema secondo - Capitolo I/Caso II
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CASO II.
Divisione.
9. Nel secondo di questi esempj i resti ottenuti dopo ciascuna parziale sottrazione del prodotto d’una cifra del diminutore, moltiplicata pel numero dato, dal parzial diminuendo corrispondente, essendo i seguenti.
Se dunque in cotesto esempio, come in qualunque altro simile, si fosse anticipatamente aumentata qualche cifra del diminutore, restando le medesime tutte le altre, di una o più unità, è chiaro che il di lei prodotto pel numero dato non si sarebbe potuto più sottrarre dal parzial diminuendo corrispondente, e perciò sarebbe stato impossibile l’assegnare alcun resto.
Di qui si conclude generalmente, che quando un diminutore è composto di cifre tali, che i resti successivi delle parziali sottrazioni che si fanno, riescano tutti minori del numero dato, coteste cifre sono le più grandi possibili, che quel diminutore possa avere; e che perciò non vi può essere altro diminutore più grande di lui, il quale ripetuto il medesimo numero di volte possa sottrarsi da un diminuendo proposto, per lasciare alla fine un resto più piccolo.
Proposto pertanto un diminuendo, da cui dovesse sottrarsi un numero dato di diminutori tutti uguali tra loro; nel caso, in cui la grandezza di questi diminutori non fosse assegnata, ma però si esigesse ch’essi dovessero essere i più grandi possibili, acciocché, venendo sottratti dal diminuendo, lasciassero il più piccolo resto possibile, da quanto abbiamo fin quì detto chiaramente apparisce, che per assegnare cotesta grandezza, ossìa per determinare uno di cotesti diminutori, e contemporaneamente anche il resto, bisognerebbe operare come segue.
«Dopo avere scritto il numero dato, separato da una lineetta verticale, a sinistra del diminuendo coperto con una linea orizzontale, e prese in questo tante cifre quante bastano, e non più a contenere il numero dato,
«1.° Si cercherebbe qual’è quella cifra significativa, la quale moltiplicata pel numero dato ci offre un prodotto non superiore e nello stesso tempo il più vicino possibile al numero espresso dalle cifre prese, considerato come primo diminuendo parziale.
«Trovata una tal cifra, e scrittala sopra la linea orizzontale in colonna all’ultima di cotesto diminuendo, come prima cifra del diminutore che si cerca, il prodotto di essa pel numero dato si sottrarrebbe nel modo, che precedentemente (8) si è detto, dal medesimo parzial diminuendo.
«2.° A destra del resto che si trova, minore del numero dato, abbassando verticalmente la seguente cifra del diminuendo totale, ed ottenuto così un secondo diminuendo parziale, si cercherebbe qual’è quella cifra significativa o nò, la quale moltiplicata pure pel numero dato ci offre un prodotto non superiore e nello stesso tempo il più vicino possibile a cotesto secondo diminuendo parziale.
«Trovata una tal cifra e scrittala a destra della precedente sopra la linea orizzontale, come seconda cifra del diminutore che si cerca, il prodotto di essa pel numero dato si sottrarrebbe pure nel modo stesso da quel secondo diminuendo parziale.
«E così di seguito fino alla ultima cifra del diminuendo totale, la quale si abbasserebbe a destra del resto già ottenuto per aver l’ultimo diminuendo parziale, e quindi di l’ultima cifra del diminutore cercato; e finalmente l’ultimo resto voluto.»
10. Questa operazione, eseguita sul diminuendo totale per mezzo del numero dato, dicesi Divisione, in quanto che per essa, prescindendo dall’ultimo resto che si trova, non si fa in sostanza che decomporre, o dividere un certo numero proposto in un numero dato di parti uguali, e queste le più grandi possibili; quindi è, che relativamente ad una tale operazione il diminuendo, sù cui si opera, prende il nome di Dividendo; il numero dato, per mezzo di cui questa operazione si fa, prende il nome di Divisore, ed il diminutore, che si ottiene, dicesi Quoto, o Quoziente, come quello che indica il quanto e non più esce o si cava dal Dividendo; il resto poi ordinariamente mantiene lo stesso nome, se non che qualchè volta, per denotare che è il più piccolo possibile, dicesi Residuo.
Apparisce pertanto da ciò che precede, che la Divisione è una operazione più rapida della Sottrazione propriamente detta, ed anche più efficace, in quanto che riferendosi al caso in cui la grandezza de’ diminutori, uguali e dati di numero, non è assegnata, fa sì che riescano essi della maggior grandezza possibile, onde venendo sottratti tutti dal diminuendo lo esauriscano più da vicino d’un egual numero di altri, lasciando il più piccolo resto possibile.
Del rimanente se si riflette, che il quoziente, una volta che fosse trovato, moltiplicato pel divisore, ci darebbe il medesimo prodotto, che il divisore stesso moltiplicato per lui, ci persuaderemo facilmente che la Divisione, (prescindendo sempre dal Residuo), invece di servire alla ricerca del numero il più grande possibile, contenuto un numero dato di volte in un numero proposto, può egualmente servire alla ricerca del più gran numero di volte possibile, che un numero dato sia contenuto nello stesso proposto numero.
Generalmente, prescindendo dal residuo, la divisione può risolvere la seguente questione.
«Proposto un numero come prodotto di due fattori, e dato uno di questi fattori, determinar l'altro; e sotto questo punto di vista essa sarà una operazione inversa alla Moltiplicazione, per mezzo di cui, dati i due fattori, si determina il loro prodotto.
11. Volendo eseguire la operazione della divisione sopra un numero qualunque, proposto come dividendo, per un’altro numero, dato come divisore, per quello che si è detto (9), è necessario sapere assegnare la cifra del quoziente di ciascun dividendo parziale per lo stesso divisore. Ora possono darsi due casi.
1.° O questo divisore è d’una cifra sola, come il quoziente che si cerca.
2.° Oppure è di più cifre.
Siccome nell’uno e nell’altro caso ciascun dividendo parziale dev’esser compreso tra due de’ prodotti consecutivi, datici dalle dieci cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, moltiplicate ciascuna pel divisore dato (quando cotesto dividendo non sia uno di questi stessi prodotti), così è chiaro, che la cifra che si cerca, nel primo caso, (quando non sia la cifra 0), si avrà subito in pronto rammentandoci i prodotti somministrati dalla Tavola di Pittagora, e nel secondo caso tutta la difficoltà si ridurrà a vedere qual’è di coteste dieci cifre quella, che moltiplicata pel divisore dato darà il prodotto immediatamente più piccolo, od almeno non maggiore del dividendo parziale, di cui si tratta.
Volendo poi adottare un linguaggio per la determinazione di ciascuna cifra del quoziente, si dirà o si scriverà per esempio 7 in 37? 5, con che s’intenderà di dire «7 volte in 37 qual’è il maggior numero contenuto? Il 5; oppure il numero 7 in 37 qual’è il maggior numero di volte che sia contenuto? 5 volte.
Passiamo ora a degli esempj di divisione, incominciando dal caso, in cui il divisore sia d’una cifra sola.
Sia 12 347 891 il dividendo proposto, e 7 il divisore dato
Ecco il tipo del calcolo.
| 1763984 | ||
| 7 | 12347891 | |
| 53 | ||
| 44 | ||
| 27 | ||
| 68 | ||
| 59 | ||
| 31 | ||
| 3 | resto |
«7 in 12? 1 (Segno 1 sopra la linea orizzontale in colonna alla seconda cifra 2 del dividendo che è sotto).
«1 via 7, 7. Da 12, 7, 5. (Segno 5, e abbasso 3). 7 in 53? 7. (Segno 7).
«7 via 7, 49. Da 53, 49, 4. (Segno 4, e abbasso 4). 7 in 44? 6. (Segno 6).
«6 via 7, 42. Da 44, 42, 2. (Segno 2, e abbasso 7). 7 in 27? 3. (Segno 3).
«3 via 7, 21. Da 27, 21, 6. (Segno 6, e abbasso 8). 7 in 68? 9. (Segno 9).
«7 via 9, 63. Da 68, 63, 5. (Segno 5, e abbasso 9). 7 in 59? 8. (Segno 8).
«7 via 8, 56. Da 59, 56, 3. (Segno 3, e abbasso 1). 7 in 31? 4. (Segno 4).
«4 via 7, 28. Da 31, 28, 3. (Segno 3).»
Per un’altro esempio sia sempre 7 il divisore, e 7 054 034 il dividendo.
Ecco il tipo del calcolo
| 1007719 | ||
| 7 | 7054034 | |
| 0054 | ||
| 50 | ||
| 13 | ||
| 64 | ||
| 1 | resto | |
12 Del rimanente è visibile, che, siccome appena avvertita nella nostra mente la cifra del quoziente, il di cui prodotto per quella del divisore è il più prossimo in meno, come suol dirsi, a ciascun dividendo parziale, s’avverte pure subito la cifra dell’eccesso di questo dividendo su quel prodotto, ossia la cifra del resto, così riunendo mentalmente questa seconda cifra, come di diecine, alla seguente del dividendo totale, come di unità, si avrà subito in mente anche il dividendo parziale successivo, relativamente al quale s’avvertirà la cifra successiva del quoziente totale; e così di seguito.
Senza star dunque a scrivere i successivi parziali dividendi e facendo mentalmente la operazione, come si dice, non si avrà che a scrivere di mano in mano la cifra di ciascun parzial quoziente.
In questa guisa pel primo de’ due precedenti esempj il calcolo, di cui ecco il tipo,
| 1763984 | ||
| 7 | 12347891 | |
| 3 | resto |
«7 in 12? 1. In 53? 7. In 44? 6. In 27? 3. In 68? 9. In 59? 8. In 31? 4;
«ed avanza 3.»
Pel secondo esempio, di cui ecco il tipo del calcolo,
| 1007719 | ||
| 7 | 7054034 | |
| 1 | resto |
«7 in 7? 1. In 00? 0. In 005?, ossìa in 5? 0. In 54? 7. In 50? 7. In 13? 1. In 64? 9. ed avanza 1.»
13. Passiamo adesso al caso, in cui il divisore sìa di più cifre.
In questo caso tutta la difficoltà si riduce, come abbiamo precedentemente detto (11), ad assegnare la cifra del quoziente di ciascun dividendo parziale pel divisore; il processo poi della operazione è presso a poco il medesimo; se non che per compendiare le successive sottrazioni ci atterremo alla Regola di sopra enunciata (8). Vediamone degli esempj. Si debba per un primo esempio dividere il numero 7 803 558 pel numero 27 di due cifre. Ecco il tipo del calcolo
| 289020 | ||
| 27 | 7803558 | |
| 240 | ||
| 243 | ||
| 55 | ||
| 18 | resto |
«27 in 78? 2; 2 via 7, 14. Da 18, 14, 4. (Segno 4, e ritengo 1).
«2 via 2, 4 e 1, 5. Da 7, 5, 2. (Segno 2 e abbasso o). 27 in 240? 8;
«7 via 8, 56. Da 60, 56, 4. ( Segno 4 e ritengo 6). 2 via 8, 16 e 6, 22.
«Da 24, 22, 2. (Segno 2 e abbasso 3). 27 in 243? 9; 7 via g, 63.
«Da 63, 63, 0. (Ritengo 6), 2 via 9, 18 e 6, 24. Da 24, 24, 0.
« (Abbasso 5). 27 in 5? 0. (Segno 0 e abbasso 5). 27 in 55? 2; 2 via 7, 14.
« Da 15, 14, 1 (Segno 1 e ritengo 1). 2 via 2, 4 e 1, 5. Da 5, 5, 0.
« (Abbasso 8). 27 in 18? 0. (Segno 0).»
Ecco il tipo del calcolo di due altri esempj per servir d’esercizio.
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14 Bisogna anche qui pur confessar per la verità, che l’attual determinazione di ciascuna cifra del quoziente riesce un poco imbarazzante e nuoce alla rapidità del calcolo. Ecco come si può rimediare in parte ad un tale ostacolo, e giudicare della giustezza d’una cifra scelta.
Riflettendo, che un dividendo parziale può esser riguardato, come il prodotto del divisore per la cifra che si cerca, e viceversa, più o nò un resto, bisognerà che cotesta cifra sia tale, che il total prodotto di lei pel divisore non superi il dividendo, e che perciò anche il di lei prodotto parziale per la prima cifra d’un tal divisore non superi la prima, o le due prime cifre del dividendo stesso.
Quindi si conclude, che riguardando un dividendo parziale come un diminuendo, ed il divisore come un diminutore, il quoziente della prima o delle due prime cifre del primo per la prima cifra del secondo sarà la cifra cercata, quando per mezzo di essa considerata come un numero dato di diminutori uguali al divisore stesso, possa attualmente effettuarsi la sottrazione di tali diminutori dal diminuendo nel modo di sopra insegnato (7); altrimenti bisognerà diminuirla d’una, di due... unità, finche la sottrazione possa effettuarsi.
Così per esempio essendo 2 202 un dividendo parziale, e 279 il divisore, siccome il quoziente d’una cifra sola di 22 diviso per 2 è 9, se
| 279 | |
| 9 | 2202 |
| 40 |
Prendendo in suo luogo la cifra 8, e facendo la sottrazione, come segue,
| 279 | |
| 8 | 2202 |
| 60 | |
| 42 |
Questo metodo in pratica riesce molto spedito, giacché con un pò d’abitudine le operazioni, ch’esige, si fanno quasi a colpo d’occhio.
Ecco, per por fine alla Divisione, il tipo del calcolo di parecchi altri esempj, su’ i quali bisogna esercitarsi molto.
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| 7324213889 | |
| 79872 | 584999611742208 |
| 258956 | |
| 193401 | |
| 336571 | |
| 170837 | |
| 110934 | |
| 310622 | |
| 710062 | |
| 710860 | |
| 718848 | |
| 0 | |