Matematiche Fascicolo terzo/Tema terzo - Capitolo II/Caso III
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CASO III.
Elevazione a potenze delle Frazioni.3. Nel caso particolare della moltiplicazione di più frazioni, che abbiano i medesimi termini respettivamente uguali, cioè siano trà loro identiche, è visibile, che il loro prodotto si farà coll’elevare ciascuno dei due termini di una di esse ad una potenza medesima, di un grado espresso dal numero di tutte; ed in questo caso consisterà la Elevazione a potenze delle frazioni.
Così per elevare alla seconda, terza,... potenza la frazione per es. , elevandovi ambedue i suoi termini, si avranno le respettive frazioni , , ...
La seconda potenza poi, e la terza diconsi al solito respettivamente Quadrato e Cubo, come nel caso de’ numeri intieri (Tema I.° pag. 54, 55); ed eccone quì pure la ragione.
Avendo spezzato in un medesimo senso un Quadrato, scelto a piacere, in tante strisce tra loro uguali, quante unità contiene il denominatore di una frazione proposta qualunque, propria od impropria, se si spezza di nuovo ciascuna di queste strisce, (che sarà certamente più lunga che larga), nel senso della sua larghezza in altrettante più piccole uguali tra loro, è facile persuadersi, che queste ultime riesciranno perfettamente quadre, e che il numero di tutte sarà precisamente espresso dalla seconda potenza del denominatore della proposta frazione. Se dunque si suppone, che il numero o soggetto concreto sottinteso, a cui una tal frazione si riferisce, esprima il primitivo quadrato, cioè sia il numero delle strisce, o caselle quadre, nelle quali esso si è spezzato, il valore della seconda potenza della frazione proposta si potrà ravvisare com’espresso soltanto dalla seconda potenza del suo numeratore, la quale esprime appunto un Quadrato effettivo, purchè però una tal seconda potenza si riferisca, non più al quadrato primitivo, ma bensì ad una delle caselle quadre, nelle quali egli è stato decomposto.
Parimente, avendo spezzato un Cubo, scelto a piacere, nel senso della sua altezza, in tanti strati, o segmenti trà loro uguali, quante unità contiene il denominatore di una frazione qualunque proposta, propria od impropria, se si spezza ciascuno di questi segmenti, (che sarà certamente più lungo e più largo, che alto), nel senso della lunghezza in altrettanti segmenti più piccoli trà loro uguali, e di nuovo ciascuno pure di questi secondi, (che sarà certamente più lungo, che largo ed alto), nel senso della larghezza in altrettanti segmenti anche più piccoli trà loro uguali, è facil persuadersi, che questi ultimi riesciranno cubi perfetti, e che il numero di tutti sarà precisamente espresso dalla terza potenza del denominatore della frazione proposta. Se dunque si suppone, che il numero, o soggetto sottinteso, a cui una tal frazione si riferisce, esprima il primitivo cubo, cioè sia il numero de’ piccoli cubi uguali, nei quali esso si è spezzato, il valore della terza potenza della frazione proposta si potrà ravvisare com’espresso soltanto dalla terza potenza del suo numeratore, la quale esprime appunto un Cubo effettivo, purchè però una tal terza potenza si riferisca, non più al cubo primitivo, ma bensì ad uno dei piccoli cubi, nei quali egli è stato decomposto.
4. Prima di procedere oltre, facendo una breve digressione, cade quì in acconcio il far vedere, che vi sono una infinità di maniere per formare il quadrato ed il cubo di un numero qualunque intiero o frazionario proposto, seguendo sempre a tale oggetto delle regole analoghe a quelle, che abbiamo date in addietro (Tema primo, pag. 58, 63).
E primieramente considerando in un numero intiero la prima cifra a destra, (ch’è di unità), come una prima parte del medesimo, ed il sistema di tutte le altre a sinistra, (ch’è di diecine), come una seconda parte, si può asserire di aver già dimostrato,
«Che, riguardando un numero intiero qualunque come decomposto per addizione in coteste due parti, per formare il di lui quadrato si deve fare separatamente
1.° I1 quadrato della sua prima parte
2.° Il doppio prodotto della 2.ª per la prima
3.° Il quadrato della seconda;
E quindi sommar tutto insieme.
E che per formare il cubo di un numero intiero qualunque si deve fare separatamente
1.° Il cubo della sua prima parte
2.° Il triplo del prodotto del di lei quadrato per la seconda
3.° Il triplo del prodotto di lei pel quadrato della seconda parte
4.° Il cubo di questa seconda parte;
E quindi sommar tutto insieme.»
Ora io dico di più, che, proposto un qualsivoglia numero, comunque questo si spezzi, o si decomponga per addizione in due parti, per formare il di lui quadrato basterà sempre seguire la prima di tali regole, e per formare il cubo basterà seguir la seconda.
Ed infatti per formare in primo luogo il quadrato di cotesto numero per mezzo delle due parti, nelle quali esso, come un Tutto, si suppone per addizione decomposto, è facil persuadersi, che bisognerà moltiplicare ciascuna di coteste due parti successivamente per la prima e per la seconda di esse stesse, e poi addizionare i prodotti, che si ottengono, i quali saranno
1.° Il prodotto della prima parte per la prima parte.
2.° Il prodotto della prima per la seconda
3.° Il prodotto della seconda per la prima
4.° Il prodotto della seconda parte per la seconda parte.
Ma il prodotto della prima parte per la prima parte, ossìa per se stessa, è il di lei quadrato; il prodotto della seconda per la prima essendo lo stesso, che quello della prima per la seconda, cotesti due prodotti formano insieme il doppio del prodotto della prima parte per la seconda; ed il prodotto della seconda parte per la seconda parte, ossia per se stessa, è il di lei quadrato.
Nella riunione pertanto di cotesti prodotti consiste appunto la prima delle due regole precedentemente enunciate.
Passando in secondo luogo alla formazione del cubo di qualsivoglia numero, comunque decomposto per addizione in due parti, per mezzo di queste stesse parti, siccome bisogna moltiplicare il precedente quadrato per lo stesso numero, ossìa per la prima, e per la seconda sua parte, è chiaro che dovremo primieramente moltiplicare per la prima e poi per la seconda parte i trè primi prodotti di sopra 1°, 2°, 3° del quadrato ottenuto, e quindi far l’addizione di tutti i nuovi prodotti, che si otterranno.
Ora per la prima moltiplicazione è facil vedere, che si otterrà
1.° Il cubo della prima parte
2.° Il doppio del di lei quadrato per la seconda
3.° Il prodotto di lei pel quadrato di questa.
Facendo poi la seconda moltiplicazione si avrà
4.° Il prodotto del quadrato della prima parte per la seconda
5.° Il doppio del prodotto di lei pel quadrato di questa
6.° II cubo di questa stessa seconda parte.
Riunendo quì insieme il doppio prodotto 2.° col prodotto 4.°, ciò che si può, si hà
Il triplo del prodotto dal quadrato della prima parte per la seconda;
E riunendo il prodotto 3.° col doppio prodotto 5,° ciò che pure si può, si hà
11 triplo del prodotto della prima parte pel quadrato della seconda.
Nella riunione adunque de’ prodotti 1,° 2,° 3,° 4,° 5,° 6° precedenti consiste la seconda delle regole di sopra enunciate per la formazione del cubo di un qualsivoglia numero, comunque decomposto per addizione in due parti.
In conseguenza di tali regole si vede, che per avere il quadrato di un numero intiero immediatamente consecutivo ad un altro, cioè che non differisca da questo che d’una unità, basterà aggiungere al quadrato del primo il suo doppio aumentato di una unità; e per averne il cubo basterà aggiungere al cubo del primo il triplo del di lui quadrato, ed inoltre il suo triplo aumentato di una unità.
Così ad 1, quadrato di 1, aggiungendo 3, si avrà 4 pel quadrato di 2;
A 4 aggiungendo 5, si avrà 9 pel quadrato di 3;
A 9 aggiungendo 7, si avrà 16 pel quadrato di 4;
E così di seguito.
Parimente ad 1, cubo di 1, aggiungendo 3 e 4, si avrà 8 pel cubo di 2;
Ad 8 aggiungendo 12 e 7, si avrà 27 pel cubo di 3;
A 27 aggiungendo 27 e 10, si avrà 64 pel cubo di 4;
E così di seguito.
Del resto le medesime regole hanno luogo anche per la formazione del quadrato e del cubo della somma di due qualsivoglia numeri, considerati come Parti separate di un Tutto unico.
5. Passando adesso alle Operazioni inverse sulle Frazioni, che, come pei numeri intieri, distingueremo al solito in trè Casi, cioè Sottrazione, Divisione ed Estrazione delle Radici, noi intendiamo di voler con queste distrugger l’effetto, o la mutazione, che sopra una o più frazioni proposte possono aver prodotta le Operazioni respettivamente dirette, suppostevi già praticate sopra.
E primieramente in quanto al