Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 33

Capitolo 6 - Funzioni complesse e loro limiti

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§ 33. — Funzioni complesse e loro limiti.


Se sono funzioni reali della definite in uno stesso insieme la è (§ 29, , pagina 96) una funzione (complessa) della variabile (reale) definita nel campo .

Se , se , si suol dire che:

. (1)

Poichè, scelto un piccolo a piacere, esistono un intorno , e un intorno di , tale che nei punti di (il punto escluso) che appartengono a tali intorni, valgono le

, , (2)
[p. 112 modifica]in un intorno interno a e a varranno entrambe le (2). Varrà anche la
, (3)

perchè il primo membro di (3) non può superare

.

Viceversa, se per ogni , esiste un intorno per il quale valga la (3), allora è vera la (1). È così trovata una stretta analogia tra le definizioni di limite di una funzione reale o complessa. È evidente che dalla (1) segue

, cioè:

(limite del modulo modulo del limite).

Una formola analoga non si può scrivere per gli argomenti perchè l’argomento di un numero complesso non è univocamente determinato.

Se però è una funzione complessa, il cui modulo per ha per limite , mentre l’argomento (o, per meglio dire, uno degli argomenti) ha per limite , allora ha per limite proprio .

Se anche una sola delle funzioni , ha per limite , ossia se ha per limite l’infinito, ossia se ha per limite zero, diremo che ha per limite.