Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 33

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Funzioni complesse e loro limiti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 33. — Funzioni complesse e loro limiti.

Se $u(x),v(x)$ sono funzioni reali della $x$ definite in uno stesso insieme $G$ la $u(x)+iv(x)$ è (§ 29, $\alpha$, pagina 96) una funzione (complessa) della variabile (reale) $x$ definita nel campo $G$.

Se $\lim _{x=a}u(x)=m$, se $\lim _{x=a}v(x)=n$, si suol dire che:

$\lim _{x=a}\left[u(x)+iv(x)\right]=m+in$.

(1)

Poichè, scelto un ${\frac {\varepsilon }{2}}$ piccolo a piacere, esistono un intorno $\gamma _{1}$, e un intorno $\gamma _{2}$ di $a$, tale che nei punti di $G$ (il punto $a$ escluso) che appartengono a tali intorni, valgono le

$|u(x)-m|\geq {\frac {\varepsilon }{2}}$,

$|v(x)-n|\geq {\frac {\varepsilon }{2}}$,

(2)

in un intorno $\gamma$ interno a $\gamma _{1}$ e a $\gamma _{2}$ varranno entrambe le (2). Varrà anche la

$||u(x)+iv(x)|-|m+in||\leq \varepsilon$,

(3)

perchè il primo membro di (3) non può superare

$|u(x)-m|+|v(x)-n|$.

Viceversa, se per ogni $\varepsilon >0$, esiste un intorno $\gamma$ per il quale valga la (3), allora è vera la (1). È così trovata una stretta analogia tra le definizioni di limite di una funzione reale o complessa. È evidente che dalla (1) segue

$\lim _{x=a}{\sqrt {[u(x)]^{2}+[v(x)]^{2}}}=m^{2}+n^{2}$, cioè:

$\lim _{x=a}|u(x)+iv(x)|=|m+in|$

(limite del modulo $=$ modulo del limite).

Una formola analoga non si può scrivere per gli argomenti perchè l’argomento di un numero complesso non è univocamente determinato.

Se però $u(x)+iv(x)$ è una funzione complessa, il cui modulo per $x=a$ ha per limite $r$, mentre l’argomento (o, per meglio dire, uno degli argomenti) ha per limite $\theta$, allora $u(x)+iv(x)$ ha per limite proprio $r(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

Se anche una sola delle funzioni $u(x)$, $v(x)$ ha per limite $\infty$, ossia se $|u+iv|={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$ ha per limite l’infinito, ossia se ${\frac {1}{u+iv}}$ ha per limite zero, diremo che $u+iv$ ha $\infty$ per limite.