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funzioni, limiti

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Supponiamo, per esempio, che la $y$ abbia per $x=a+0$ due limiti finiti $h$, $k$. Io dico che $h=k$.

Sia $\varepsilon$ un numero piccolo a piacere. Esiste un intorno $\alpha$ a destra di $x=a$, in cui $|y-h|<{\frac {\varepsilon }{2}}$, ed esiste un intorno $\beta$ a destra di $x=a$, in cui $|y-k|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. Sia $A$ un punto (del solito campo $G$ e distinto da $a$), che appartiene al più piccolo di questi intorni; esso apparterrà ad entrambi gli intorni.

Il valore $y_{A}$, che $y$ assume in tal punto, soddisferà perciò ad entrambe le disuguaglianza $|Y_{A}-h|<{\frac {\varepsilon }{2}},|y_{A}-k|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

I numeri $h$, $k$ avendo da uno stesso numero $y_{A}$ una distanza minore di ${\frac {\varepsilon }{2}}$, disteranno l’uno dall’altro per meno di $\varepsilon$, ossia $|h-k|<\varepsilon$.

Ciò che si può anche dimostrare osservando che

$|h-k|=|(y-y_{A})+(y_{A}-k)|\geq |h-y_{A}|+|k-y_{A}|=$

$=|y_{A}-h|+|y_{A}-k|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$.

La differenza $h-k$, essendo un valore assoluto minore di ogni numero positivo $\varepsilon$, è quindi nulla.                      c.d.d.

Un utile esercizio sarà quello di completare la dimostrazione del precedente teorema per il caso che sia, per esempio, $h=+\infty$.

§ 33. — Funzioni complesse e loro limiti.

Se $u(x),v(x)$ sono funzioni reali della $x$ definite in uno stesso insieme $G$ la $u(x)+iv(x)$ è (§ 29, $\alpha$, pagina 96) una funzione (complessa) della variabile (reale) $x$ definita nel campo $G$.

Se $\lim _{x=a}u(x)=m$, se $\lim _{x=a}v(x)=n$, si suol dire che:

$\lim _{x=a}\left[u(x)+iv(x)\right]=m+in$.

(1)

Poichè, scelto un ${\frac {\varepsilon }{2}}$ piccolo a piacere, esistono un intorno $\gamma _{1}$, e un intorno $\gamma _{2}$ di $a$, tale che nei punti di $G$ (il punto $a$ escluso) che appartengono a tali intorni, valgono le

$|u(x)-m|\geq {\frac {\varepsilon }{2}}$,

$|v(x)-n|\geq {\frac {\varepsilon }{2}}$,

(2)