Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 31

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Esempi preliminari di limiti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 31. — Esempi preliminari di limiti.

$\alpha )$ Sia $OP$ un pendolo mobile attorno ad un punto O; e ne sia $OV$ la posizione di equilibrio stabile. Supponiamo che il pendolo si muova in un mezzo così viscoso, che la resistenza del mezzo impedisca al pendolo $OP$ di risalire dopo che sia disceso in $OV$. L’angolo $y$ che $OP$ forma con $OV$ va diminuendo, e diminuisce indefinitamente fino a diventare tanto piccolo quanto si vuole, e, quando è diventato minore di un qualsiasi angolo $\varepsilon$, non cresce più, ma resta minore di $\varepsilon$. Ora $y$ è una funzione del tempo $x$ impiegato dal pendolo nel suo movimento. Quanto più $x$ aumenta, tanto più piccolo $y$ diventa e resta. Cioè che esprimeremo dicendo, che $y$ tende a zero, (ha per limite zero, diventa infinitesimo) se $x$ cresce indefinitamente (per $x=+\infty$) e scrivendo $\lim _{x=+\infty }y=0$.

$\beta$ Sia ancora $OP$ un pendolo oscillante attorno ad un punto $O$; e ne sia $OV$ la posizione di equilibrio stabile. Per fissare le idee, supponiamo che gli attriti, la resistenza del mezzo siano tali che, se il pendolo parte da una posizione $OP$ che con $OV$ fa un angolo $\alpha$, esso, oscillando, giunga dall’altra parte di $OV$ fino alla posizione $OP_{1}$, che con $OV$ fa angolo $\textstyle -{\frac {\alpha }{2}}$. Cosicchè, tenendo conto dei segni, possiamo dire che, se l’angolo $y$ di $OP$ con $OV$ ha il valore $\alpha$ al principio di una oscillazione, il valore di $y$ varia durante l’oscillazione e, partendo da $\alpha$, e passando per lo zero, giunge fino al valore $-{\frac {\alpha }{2}}$. Naturalmente poi il pendolo retrocede fino a che il valore $y$, ripassando per lo zero, giunge al valore $\textstyle -{\frac {1}{2}}(-{\frac {\alpha }{2}})={\frac {\alpha }{4}}$, per poi retrocedere di nuovo giungendo al valore $\textstyle -{\frac {\alpha }{8}}$, e così via.

E resta evidente che, se si prende il numero delle oscillazioni compiute dal pendolo abbastanza grande, si rendono piccoli a piacere i valori che può poi assumere $y$: ciò che esprimeremo scrivendo $\lim _{x=+\infty }y=0$.

Infatti, se $\varepsilon$ è un numero positivo piccolo a piacere, sia $n$ così grande che $2^{n}>{\frac {|\alpha |}{\varepsilon }}$. Per $x\geq n$ sarà $2^{x}>{\frac {|\alpha |}{\varepsilon }},{\frac {|\alpha |}{2^{x}}}<\varepsilon$.

E quindi per $x>n$ l'angolo $y$ è a fortiori minore di $\epsilon$.

$\gamma )$ Tra i due precedenti esempi passa una certa differenza di comportamento. Mentre nel 1° la $y$ varia al crescere della $x$ sempre in un verso, e, senza mai essere nulla, finisce col diventare e restare piccola a piacere, la quantità $y$ del secondo esempio tende pure a zero. Ma essa non varia sempre in un verso: il suo valore assoluto prima diminuisce fino ad annullarsi, poi aumenta di nuovo, torna a diminuire, e così via. I massimi valori che $|y|$ raggiunge in ogni oscillazione vanno diventando però sempre più piccoli; cosicchè anche la $y$ del secondo esempio, come la $y$ del primo, finisce da un certo momento in poi con l’essere diventata e restare piccola a piacere in valore assoluto.

$\delta )$ Se un punto $M$ si muove di moto uniforme su una retta $OX$, partendo da $O$, e muovendosi per esempio verso destra, la distanza $y=OM$ cresce sempre, anzi ad un certo istante in poi diventa e resta maggiore di una qualsiasi lunghezza $L$ assegnata. Se, per esempio, misuriamo il tempo (in minuti, o in secondi, o eccetera) a partire dall’istante iniziale dal movimento, e se $v$ è la velocità (supposta costante) del movimento, dopo $\textstyle x>{\frac {L}{v}}$ unità di tempo, si ha $OM=y=xv>L$. Ciò che noi esprimeremo scrivendo $\lim y=\infty$ (quando $x$ cresce indefinitamente), o anche senza altro $\lim _{x=\infty }y=\infty$.

Sia ora $N$ un punto che oscilli rapidamente intorno al precedente punto mobile $M$, e supponiamo che l’ampiezza di tali oscillazioni sia costantemente di 1 cm. La distanza $y=ON$ potrà anche in certi intervalli di tempo diminuire (quando $N$ si muove oscillando in direzione opposta al movimento di $M$). Ma ciononostante i valori minimi che successivamente acquista $x=ON$ vanno crescendo sempre, vanno diventando grandi ad arbitrio, cosicchè ad un certo istante $x$ in poi anche $y=ON$ diventa e resta maggiore di una qualsiasi lunghezza assegnata. Perciò noi diciamo ancora che $\lim _{x=\infty }y=\infty$.

$\varepsilon$) Consideriamo la quantità $y={\frac {1}{x-3}}$; essa è una funzione della $x$ nel campo formato da tutti i possibili valori della $x$, eccettuato il valore $x=3$.

Si noti che per $x=3,1;\;3,01;\;3,001;\;\ldots$ si ha rispettivamente $y=10$; $y=100$; $y=1000$, eccetera. E si riconoscerà tosto che, man mano che la $x$ si avvicina a $3$, il numero $x-3$ diventa e resta piccolissimo, il numero ${\frac {1}{x-3}}$ grandissimo (in valore assoluto); ciò che noi indichiamo scrivendo $\lim _{x=3}y=\infty$.

Il lettore costruisca il diagramma (la curva immagine) della nostra funzione (che si trova essere un’iperbole equilatera) e cerchi di illustrare col disegno i fatti qui enunciati.

Si noti che, per assegnare il $\lim _{x=3}y$, si sono considerati i valori delle $x$ prossimi al valore $3$, e non il valore $3$, per il quale anzi la $y$ non è neppur definita.

$\zeta$) Consideriamo infine un pendolo $OP$ che oscilla senza smorzamento attorno al punto $O$. L’angolo $y$ di $OP$ con la posizione $OV$ di equilibrio stabile varierà da un certo valore $\alpha$ fino a $-\alpha$, per poi tornare al valore $\alpha$, e così via. In ogni oscillazione esistono valori di $y$ vicinissimi ed anzi coincidenti con ogni numero $\gamma$ scelto nell’intervallo $(-\alpha ,\alpha )$. Ma $y$, dopo essersi avvicinato al valore $\gamma$, se ne allontana; e la misura $|y-\gamma |$ di questo avvicinamento, pur raggiungendo ad ogni oscillazione addirittura il valore zero, continua pure a raggiungere i valori $|\alpha -\gamma |$ e $|-\alpha -\gamma |$; cosicchè, pur diventando minore di un numero $\varepsilon$ piccolo a piacere, non resta, da nessun istante in poi, minore di un tal numero $\varepsilon$. Noi diremo perciò che $\lim y$ non esiste, o che $y$ non tende ad alcun limite, quando il numero delle oscillazioni tende all’infinito.