Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/128

112

capitolo vi — § 33-34

in un intorno $\gamma$ interno a $\gamma _{1}$ e a $\gamma _{2}$ varranno entrambe le (2). Varrà anche la

$||u(x)+iv(x)|-|m+in||\leq \varepsilon$,

(3)

perchè il primo membro di (3) non può superare

$|u(x)-m|+|v(x)-n|$.

Viceversa, se per ogni $\varepsilon >0$, esiste un intorno $\gamma$ per il quale valga la (3), allora è vera la (1). È così trovata una stretta analogia tra le definizioni di limite di una funzione reale o complessa. È evidente che dalla (1) segue

$\lim _{x=a}{\sqrt {[u(x)]^{2}+[v(x)]^{2}}}=m^{2}+n^{2}$, cioè:

$\lim _{x=a}|u(x)+iv(x)|=|m+in|$

(limite del modulo $=$ modulo del limite).

Una formola analoga non si può scrivere per gli argomenti perchè l’argomento di un numero complesso non è univocamente determinato.

Se però $u(x)+iv(x)$ è una funzione complessa, il cui modulo per $x=a$ ha per limite $r$, mentre l’argomento (o, per meglio dire, uno degli argomenti) ha per limite $\theta$, allora $u(x)+iv(x)$ ha per limite proprio $r(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )$.

Se anche una sola delle funzioni $u(x)$, $v(x)$ ha per limite $\infty$, ossia se $|u+iv|={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$ ha per limite l’infinito, ossia se ${\frac {1}{u+iv}}$ ha per limite zero, diremo che $u+iv$ ha $\infty$ per limite.

§ 34. — Ricerca del $\lim _{x=\infty }p^{x}$.

Se $p$ è negativo, oppure complesso, supporremo senz’altro $x$ intero. Distinguiamo parecchi casi:

1° Sia $|p|>1$, $x>0$.

Si osservi che $|p^{x}|\geq k$ se $x\geq {\frac {\log _{10}k}{\log _{10}|p|}}$ ossia se $x$ appartiene all’intorno $\left({\frac {\log _{10}k}{\log _{10}|p|}},+\infty \right)$ di $+\infty$.

Quindi:               $\lim _{x=+\infty }p^{x}=\infty$               se $|p|>1.$