Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 32

by Guido Fubini

Capitolo 6 - Limiti

../Paragrafo 31 ../Paragrafo 33 IncludiIntestazione 29 dicembre 2022 75% Da definire

Questo testo è completo.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Limiti

◄

Capitolo 6 - Paragrafo 31

Capitolo 6 - Paragrafo 33

►

§ 32. — Limiti.

Cerchiamo di dare una definizione di limite, che corrisponde alla nozione intuitiva messa in evidenza dagli esempi del § 31.

A) In generale sia $y$ una funzione della $x$ definita in un certo campo $G$.

Noi scriviamo $\lim _{x=a}y=b$ $(a,b)$ numeri finiti), se, preso un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere1, la differenza $y-b$ è minore in valore assoluto di $\varepsilon (|y-b|)\leq \varepsilon )$, per tutti i numeri $x$ di $G$ abbastanza vicini ad $a$, ma differenti da $a$.

Noi scriviamo $\lim _{x=\infty }y=b$ ($b$ numero finito) se, preso un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere, la differenza $y-b$ è minore in valore assoluto di $\varepsilon (|y-b|\leq \varepsilon )$ per tutti i valori $x$ di $G$ abbastanza grandi in valore assoluto.

Per precisare tale definizione, osseviamo che sono equivalenti le frasi seguenti:

$\alpha )$ “Il numero $x$ è abbastanza vicino al numero $a$„.	$\alpha ')$ Il numero $x$ è abbastanza grande in valore assoluto.
$\beta )$ “La differenza $x-a$ è abbastanza piccola in valore assoluto„.	$\beta ')$ Il numero $\textstyle {\frac {1}{x}}$ è abbastanza piccolo in valore assoluto.
$\gamma )$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno del numero $a$ (o anche ad un intorno abbastanza piccolo di $a$).	$\gamma ')$Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno di $\infty$.

Se poi vogliamo precisare il significato delle parole “abbastanza„ “un certo„, che compaiono nelle frasi precedenti, e che possono avere un significato più o meno ampio a seconda del problema trattato, possiamo dire:

$\delta )$ La differenza $x-a$ non supera in valore assoluto un certo numero $\sigma (|x-a|<\sigma )$2.	$\delta ')$ Il numero $x$ supera in valore assoluto un certo numero $m$
$\varepsilon )$ Il punto $x$ appartiene ad un intorno <math(a-\sigma, a+\sigma)</math> del numero $a$.	$\varepsilon '$ Il punto $x$ appartiene ad un certo intorno $(m,+\infty )$ o $(-\infty ,m)$ del punto $\infty$.

Con queste osservazioni le definizioni precedenti si possono enunciare anche così:

Noi scriviamo $\lim _{x=a}y=b$ ($a,b$ numeri finiti) se, comunque si scelga un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $\sigma$ tale che, se $x$ appartiene a $G$, se $x\not =a$, ed $|x-a|<\sigma$, i valori corrispondenti alla $y$ sono tali che la differenza $y-b$ non superi $\varepsilon$ in valore assoluto.

Noi scriviamo $\lim _{x=\infty }y=b$ ($b$ numero finito) se, comunque si scelga un numero positivo $\varepsilon$ piccolo a piacere, esiste un numero $m$ tale che, se $x$ appartiene a $G$, e se $|x|>|m|$, i valori corrispondenti della $y$ sono tali che la differenza $y-b$ non superi $\varepsilon$ in valore assoluto.

Ed infine si possono dare le precedenti definizioni nella forma seguente, valida in entrambi i casi, affatto completa e precisa:

Si dice che $\lim _{x=a}y=b$ ($a$ finito o infinito, $b$ finito), se, preso ad arbitrio un numero $\varepsilon$ positivo (piccolo a piacere), esiste un intorno $\gamma$ di $a$, tale che in tutti i punti di questo intorno (il punto $a$ escluso), che appartengono al campo $G$, ove la $y$ è definita, la $y$ assume³ valori, che differiscono da $b$ per non di più di $\varepsilon$, ossia che soddisfano alla

$|y-b|\leq \varepsilon$.

Questa disuguaglianza non varrà per tutti i valori di $y$, ma soltanto per quelli che corrispondono a punti di $\gamma$. Si noti che $\gamma$ varia in generale, quando $\varepsilon$ varia. Perchè, se $\gamma$ non variasse, tale disuguaglianza varrebbe, qualunque fosse \math>\varepsilon</math>, per tutti i valori di $y$ corrispondenti ai punti dell’interno fisso $\gamma$. Perciò ognuna delle corrispondenti differenze $|y-b|$, essendo minore di un numero $\varepsilon >0$ arbitrario, sarebbe nulla. Pertanto questi valori di $y$ sarebbero tutti uguali a $b$. Cioè esisterebbe un intorno $\gamma$ di $a$, in cui la $y$ avrebbe sempre lo stesso valore $b$.

Notiamo che porre la disuguaglianza

$|y-b|\leq \epsilon$

(1)

equivale a dire che entrambe le differenze $y-b$, $b-y$ sono algebricamente minori di $\varepsilon$. Infatti, quella di queste differenze, che è positiva, è uguale a $|y-b|$, ed è quindi per ipotesi non maggiore di $\varepsilon$; e quella delle due precedenti differenze, che è negativa, è certamente minore di $\varepsilon$, perchè $\varepsilon$ è positivo.

Alla precedente disuguaglianza si possono sostituire le seguenti due:

$y-b\leq \varepsilon$

;

$b-y\leq \varepsilon$

(2)

che si possono scrivere

$b-\varepsilon \leq y\leq b+\varepsilon$.

(3)

La (3) dice che $y$ è compreso tra $b-\varepsilon$ e $b+\varepsilon$.

I valori che la $y$ assume per i citati valori di $x$ formano dunque una classe di numeri, il cui limite inferiore $l$ non è inferiore a $b-\varepsilon$, e il cui limite superiore $L$ non è superiore a $b+\varepsilon$.

Osservazione critica.

Questa ultima osservazione permette di presentare sotto nuova luce la definizione di limite, e di vederne le possibili generalizzazioni. E forse per qualche lettore la seguente trattazione potrà apparire più facile della precedente. Premettiamo una osservazione.

Siano $\gamma _{1},\gamma _{2}$ due intorni del punto a; e sia $\gamma _{1}$ una parte di $\gamma _{2}$ (cioè i punti di $\gamma _{1}$ appartengono a $\gamma _{2}$). Tra i valori che $y$ assume per i valori di $x$ (distinti da $a$ e che appartengono a $G$) appartenenti a $\gamma _{2}$ saranno compresi anche i valori assunti da $y$, quando $x$ (sempre appartenendo a $G$ ed essendo distinto da $a$) si muove entro $\gamma _{1}$ (e ciò perchè, per ipotesi, $\gamma _{1}$ è interno a $\gamma _{2}$). Quindi evidentemente: I limiti $\mathrm {L} _{1}$, $\mathrm {l} _{1}$ superiore e inferiore dei valori assunti da y quando x varia in $\gamma _{1}$ (colle solite restrizioni) e i limiti analoghi $\mathrm {L} _{2}$, $\mathrm {l} _{2}$ relativi a $\gamma _{2}$ soddisfano alle $\mathrm {L} _{2}\geq \mathrm {L} _{1}\geq \mathrm {l} _{1}\geq \mathrm {l} _{2}$⁴. Cioè, mentre un intorno $\gamma$ di a rimpicciolisce, il limite superiore L dei valori corrispondenti di y non aumenta, il limite inferiore l non diminuisce, pure essendo sempre $L\geq l$. Dunque il limite inferiore $\Lambda$ degli L, e il limite superiore $\lambda$ degli l soddisfano alle $\Lambda \geq \lambda$.

Nel nostro caso (il caso elementare) in cui $\lim _{x=a}{y}=b$, preso un $\epsilon$ piccolo a piacere, esiste, come abbiamo veduto, un intorno $\gamma$ di $a$ per cui il limite superiore $L$ non supera $b+\epsilon$, l’inferiore $l$ non è minore di $b-\epsilon$, per cui cioè $L-l$ non supera $2\epsilon$. In tal caso dunque la classe degli $L$ è contigua alla classe degli $l$; cioè $\Lambda =\lambda$. E questo numero $\lambda =\lambda$ di separazione delle due classi coincide appunto col limite $b$ di $y$ per $x=a$. Potremmi dunque anche dire:

Si dice che il limite di y per $\mathrm {x=a}$ esiste, se la classe degli L è contigua alla classe degli l; come valore $\lim _{x=a}{y}$ di questo limite s’intende in tal caso il numero di separazione delle due classi.

Questa definizione è molto analoga a quella data per le aree e i volumi delle figure piane o solide. Si capisce che dalle nostre ricerche elementari resta escluso il caso $\Lambda >\lambda$, in cui secondo le attuali definizioni, non esiste il limite di $y$ per $x=a$; $\Lambda$ e $\lambda$ sono nel caso generale i cosidetti massimo e minimo limite di $y$ per $x=a$. Si possono poi distinguere i limiti per $x=a+$ da quelli per $x=a-$.

Osservazione 1^a. Affinchè queste definizioni abbiano senso, si deve però ammettere che in ogni intorno di a esistono punti x appartenenti a G, ma distinti da a. Vale a dire, se $a$ è finito si deve per ogni numero $\sigma$ ammettere l’esistenza di punti $x$, differenti da $a$, in cui la $y$ è definita e che soddisfano alla $|x-a|<\sigma$; se $a=\infty$, si deve per ogni numero $m$ ammettere l’esistenza dei numeri $x$, per cui la $y$ è definita, e tali che $|x|>|m|$⁵.

Così, per esempio, non avrebbe senso parlare del $\lim _{x=1}{\sqrt {x-2}}$, perchè la $y$ è definita soltanto nel campo $G$ formato dai valori della $x$, che non sono inferiori a $2$. Ed evidentemente vicino ad 1 ${\Big [}$per esempio, nell’intorno $(1-\sigma ,1+\sigma )$, ove $\sigma ={\frac {1}{2}}{\Big ]}$ non esistono valori di $G$.

Osservazione 2^a. Se i valori della $x$, di cui si parla nelle precedenti definizioni, sono scelti tutti in intorni a sinistra del punto $a$, allora, anzichè scrivere $\lim _{x=a}y$, si scrive spesso $\lim _{x=a-0}y$ (se $a$ è finito) oppure $\lim _{x=+\infty }y$ (se $a$ è infinito). Si scrive $\lim {x=a+0}$ oppure $\lim {x=-\infty }$, se i valori considerati della $x$ sono scelti in intorni destri del punto $a$. Le notazioni $\lim {x=a},\lim _{x=\infty }$ sono però usate anche in tali casi, se non vi è possibilità di un equivoco.

Si scrive anche $\lim _{x=a-}$ e $\lim _{x=a+}$, anzichè $\lim _{x=a-0}$ e $\lim _{x=a+0}$.

Così, per esempio, la $y=x+{\frac {|x-1|}{x-1}}$ è una funzione definita per tutti i valori della $x$, il punto $x=1$ eccettuato. Ed è $\lim _{x=1-0}y=0$. Infatti, se $\varepsilon$ è un numero piccolo a piacere, per i valori della $x$ dell’intorno $1-\varepsilon <x<1$ del punto 1 è $0-y|=|y|=|x+{\frac {1-x}{x-1}}|=|x-1|<\varepsilon$. In modo simile si prova che $\lim _{x=1+0}y=2$.

(Si ricordi che per $x<1$ è $|x-1|=|1-x|=1-x,{\frac {|x-1|}{x-1}}=-1$ e che per $x>1$ è ${\frac {|x-1|}{x-1}}=1$).

Osservazione 3^a. È essenziale notare che, pure esistendo il $\lim _{x=a}y$, può darsi benissimo che per $x=a$ la $y$ non sia definita, od anche che vi abbia un valore affatto distinto da $\lim _{x=a}y$, perchè, per la stessa definizione, per calcolare il $\lim _{x=a}y$ si devono esaminare i valori che $y$ assume in punti distinti dal punto $x=a$.

Osservazione 4^a. Se in un intorno di $x=a$ la $y$ riceve costantemente uno stesso valore $b$, evidentemente il $\lim _{x=a}y=b$.

Osservazione 5^a. La $\lim y=b$ si legge: il limite di $y$ per $x=a$ è $b$; oppure $y$ tende al limite $b$, o anche tende a $b$ per $x=a$, oppure per $x=a$ la $y-b$ tende a zero, diventa infinitesima, è infinitesima.

Sarà un utile esercizio del lettore illustrare le precedenti definizioni per gli esempi del § 31.

Osservazione 6^a. Supponiamo che esista il $\lim _{x=a}y=l$, e che, quando $x\not =a$, si abbia $y>k$ oppure $y\geq k$.

Dovranno esistere dei valori di $y$ tali che $|y-l|<\varepsilon$ e in particolare che $l\geq y-\varepsilon$. Poichè ogni valore della $y$ non è inferiore a $k$, sarà $l\geq k-\varepsilon$; ma $\varepsilon$ è un numero piccolo a piacere. Dovrà comunque essere $l\geq k$.

Così pure, se per $x\not =a$ è $y<k$, oppure $y\leq k$, è $l\leq k$.

Come si vede, le disuguaglianze precedenti relative alla $y$ si conservano attenuate (mi sia lecita la frase) per un limite di $y$. Dico attenuate, perchè se, per esempio, $y>k$, dalla $l=\lim y$ posso non già dedurre che $l>k$, ma soltanto che $l\geq k$. Un fatto analogo ci è già noto (pagina 10) per i limiti superiore ed inferiore.

Osservazione 7^a. Viceversa, se, per esempio, $\lim y=l<k$, esiste per ogni $\varepsilon >0$ arbitrario un intorno $\gamma$ di $a$ tale che in questo intorno $y\leq l+\varepsilon$. Scelto $\varepsilon <k-l$, sarà dunque in tale intorno $y<k$. Un risultato analogo si ottiene se $l>k$.

Dalla disuguaglianza $\lim y<k$ [oppure $\lim y>k$] si deduce quindi una disuguaglianza $y<k$ [oppure $y>k$] per i valori della $y$; la quale però (si noti) è valida non già per tutti i valori della $y$; ma soltanto per quei valori che la $y$ riceve in un conveniente intorno del punto $a.$

Invece dalla $y<k$ [oppure $y>k$] si ricava soltanto $\lim y\leq k$ [oppure $\lim y\geq k$], se questi limiti esistono e sono finiti. Anche dalla $y\leq k$ [oppure $y\geq k$] si ricava la stessa disuguaglianza.

B) Converremo di scrivere $\lim _{x=a}y=\infty$ se $\lim _{x=a}{\frac {1}{y}}=0$.

Scelto ad arbitrio un numero $\varepsilon$ positivo, e, posto $k={\frac {1}{\varepsilon }}$, dovrà dunque esistere un intorno $\gamma$ di $a$ tale che per tutti i punti di questo intorno (il punto $a$ escluso) che appartengono al campo $G$ ove $y$ è definita, sia $\left|{\frac {1}{y}}\right|\leq \varepsilon$, ossia $|y|\geq k$, cioè valga l’una o l’altra delle disuguaglianza: $y\geq k$ oppure $y\leq -k$.

Possiamo dunque dire:

È $\lim _{x=a}y=\infty$, se, scelto ad arbitrio un numero k positivo (arbitrariamente grande), esiste un intorno $\gamma$ di a, tale che nei punti di $\gamma$, ove la y è definita, e che sono distinti da a, valga la $|y|\geq k$, cioè valga la:

$y\geq k$

oppure la

$y\leq -k$.

Se vale sempre in $\gamma$ la prima di queste ultime due disuguaglianze, se cioè y è positiva in tutto un intorno di a, si dirà che il limite di y è $+\infty$.

Se vale in $\gamma$ la seconda, si dirà che $\lim _{x=a}y=-\infty$.

Se in ogni intorno di $a$ la $y$ assume valori tanto positivi che negativi, essa, pur tendendo a $\infty$, non tende nè a $+\infty$, nè a $-\infty$.

Anche qui potremo distinguere il limite per $x=a+0$, e il limite per $x=a-0$.

Dunque $\lim _{x=a}y=b$, (essendo anche $a=\infty$ oppure $b=\infty$) allora e allora soltanto che, dato a piacere un intorno $\beta$ di b, si può trovare un intorno $\alpha$ di a tale che quando $x\not =a$ varia in $\alpha$ assumendo valori per cui y è definita, i corrispondenti valori di y appartengono a $\beta$.

Il lettore veda come si modifica questa proposizione, se, per esempio, $b=+\infty$, oppure $b=-\infty$, o se si tratta del limite per $x=a+$ oppure per $x=a-$.

C) Come abbiamo visto in un esempio precedente, può bene avvenire che $\lim _{x=a-0}y$, $\lim _{x=a+0}y$ esistano entrambi, e siano differenti l’uno dall’altro; nè ciò può stupire, perchè per il primo limite si considerano i valori di $y$ per $x$ posto a sinistra di $a$; e per il secondo limite si considerano tutt’altri valori della $y$: quelli corrispondenti a valori di $x$ posti a destra di $a$.

Vogliamo dimostrare però il seguente:

Teorema di unicità. La y non può avere due limiti distinti, per esempio, per $x=a+0$; cosicchè il $\lim _{x=a+0}y$ o non esiste, oppure ha un unico valore ben determinato.

Supponiamo, per esempio, che la $y$ abbia per $x=a+0$ due limiti finiti $h$, $k$. Io dico che $h=k$.

Sia $\varepsilon$ un numero piccolo a piacere. Esiste un intorno $\alpha$ a destra di $x=a$, in cui $|y-h|<{\frac {\varepsilon }{2}}$, ed esiste un intorno $\beta$ a destra di $x=a$, in cui $|y-k|<{\frac {\varepsilon }{2}}$. Sia $A$ un punto (del solito campo $G$ e distinto da $a$), che appartiene al più piccolo di questi intorni; esso apparterrà ad entrambi gli intorni.

Il valore $y_{A}$, che $y$ assume in tal punto, soddisferà perciò ad entrambe le disuguaglianza $|Y_{A}-h|<{\frac {\varepsilon }{2}},|y_{A}-k|<{\frac {\varepsilon }{2}}$.

I numeri $h$, $k$ avendo da uno stesso numero $y_{A}$ una distanza minore di ${\frac {\varepsilon }{2}}$, disteranno l’uno dall’altro per meno di $\varepsilon$, ossia $|h-k|<\varepsilon$.

Ciò che si può anche dimostrare osservando che

$|h-k|=|(y-y_{A})+(y_{A}-k)|\geq |h-y_{A}|+|k-y_{A}|=$

$=|y_{A}-h|+|y_{A}-k|<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$.

La differenza $h-k$, essendo un valore assoluto minore di ogni numero positivo $\varepsilon$, è quindi nulla.                      c.d.d.

Un utile esercizio sarà quello di completare la dimostrazione del precedente teorema per il caso che sia, per esempio, $h=+\infty$.

Note

1. La definizione non cambierebbe di significato se io dicessi solamente: “un numero $\varepsilon$arbitrario„.
2. L'“abbastanza piccolo„ acquista così il significato preciso di “minore di $\sigma$ in valore assoluto„
3. Ricordo che si dice valore assunto dalla $y$ in un punto, per esempio, nel punto $x=c$, il valore di $y$ corrisponde al valore $c$ della $x$.
4. Ciò è una facile estensione del teorema evidente:
   Se $a_{1},a_{2}\ldots ,a_{n}$ sono dei numeri, e $a_{1},a_{2}\ldots ,a_{m}$ (con $m\leq n$) sono una parte dei precedenti, il massimo (minimo) dei primi non è inferiore (superiore) al massimo (minimo) di questi ultimi.
5. Questa proprietà si suole anche enunciare dicendo: Il punto $a$ è punto limite di $G$