Lezioni di analisi matematica/Capitolo 6/Paragrafo 34

by Guido Fubini

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 6 - Ricerca del <math>\lim_{x=\infty} p^x</math>

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§ 34. — Ricerca del $\lim _{x=\infty }p^{x}$.

Se $p$ è negativo, oppure complesso, supporremo senz’altro $x$ intero. Distinguiamo parecchi casi:

1° Sia $|p|>1$, $x>0$.

Si osservi che $|p^{x}|\geq k$ se $x\geq {\frac {\log _{10}k}{\log _{10}|p|}}$ ossia se $x$ appartiene all’intorno $\left({\frac {\log _{10}k}{\log _{10}|p|}},+\infty \right)$ di $+\infty$.

Quindi:               $\lim _{x=+\infty }p^{x}=\infty$               se $|p|>1.$

2° Sia $|p|<1$, $x<0$. In tal caso ${\frac {1}{|p|}}>1$, $y=-x>0$, $\lim _{x=-\infty }p^{x}=\lim _{x=+\infty }\left({\frac {1}{p}}\right)^{x}=\infty$.

3° Sia $|p|<1$; $x>0$; sarà, posto $q={\frac {1}{p}}$, $|q|>1$ e quindi $\lim _{x=+\infty }q^{x}=\infty$, donde $\lim _{x=+\infty }{\frac {1}{q^{x}}}=0$, ossia $\lim _{x=+\infty }p^{x}=0$.

4° Sia $|p|>1$; $x<0$; posto $q={\frac {1}{p}}$, sarà $|q|<1$ e quindi per il 2° caso $\lim _{x=-\infty }q^{x}=\infty$, donde $\lim _{x=-\infty }{\frac {1}{q^{x}}}=\lim _{x=-\infty }p^{x}=0$.

5° Per $p=1$ è $\lim _{\infty =x}p^{x}=1$ (perchè $p^{x}=1$ per ogni valore di $x$).

6° Per $p=-1$ ed $x$ intero, $p^{x}$ assume i valori $+1$ o $-1$, secondo che $x$ è pari o dispari; e quindi $\lim _{x=\pm \infty }p^{x}$ non esiste. Altrettanto avviene se $|p|=1$, e $p$ è un numero complesso.