Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 25

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Regola di Leibniz-Cramer

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 25. — Regola di Leibniz-Cramer.

Siano date $n$ equazioni in $n$ incognite: per esempio le seguenti, ove per semplicità è posto $n=3$.

(1)	${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=\alpha _{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=\alpha _{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=\alpha _{3}\end{cases}}$

che possiamo scrivere, per esempio, nella forma:

$a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=\alpha _{1}-a_{11}x_{1}$

$a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=\alpha _{2}-a_{21}x_{1}$

$a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=\alpha _{3}-a_{31}x_{1}$

Se noi per un momento consideriamo $x_{1}$ come noto, questo è un sistema di tre equazioni nelle due incognite $x_{2}$, $x_{3}$.

Per il risultato del § 24 ne verrà:

${\begin{vmatrix}\alpha _{1}-a_{11}x_{1}&a_{12}&a_{13}\\\alpha _{2}-a_{21}x_{1}&a_{22}&a_{23}\\\alpha _{3}-a_{31}x_{1}&a_{32}&a_{32}\end{vmatrix}}=0$.

Posto

(2)	$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$,

otterremo, sviluppano secondo gli elementi della prima colonna

$\Delta x_{1}={\begin{vmatrix}\alpha _{1}&a_{12}&a_{13}\\\alpha _{2}&a_{22}&a_{23}\\\alpha _{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$.

E, se $\Delta \not =0$, e se indichiamo con $A_{rs}$ il complemento algebrico di $a_{rs}$ in $\Delta$:

(3)	$x_{1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}\alpha _{1}&a_{12}&a_{13}\\\alpha _{2}&a_{22}&a_{23}\\\alpha _{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}={\frac {\alpha _{1}A_{11}+\alpha _{2}A_{21}+\alpha _{3}A_{31}}{\Delta }}$.

In modo analogo si prova:

(3)bis

$x_{2}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\alpha _{1}&a_{13}\\a_{21}&\alpha _{2}&a_{23}\\a_{31}&\alpha _{3}&a_{33}\end{vmatrix}}={\frac {\alpha _{1}A_{12}+\alpha _{2}A_{22}+\alpha _{3}A_{32}}{\Delta }}$.

(3)ter

$x_{3}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&\alpha _{2}\\a_{31}&a_{32}&\alpha _{3}\end{vmatrix}}={\frac {\alpha _{1}A_{13}+\alpha _{2}A_{23}+\alpha _{3}A_{33}}{\Delta }}$.

Se esistono quindi dei valori di $x$ che soddisfano a (1), tali valori debbono essere quelli dati da (3), se $\Delta \not =0$. Verifichiamo ora che, se $\Delta \not =0$, i valori dati dalle (3) soddisfano effettivamente ad (1), per esempio alla prima delle (1). Infatti, sostituendo alle $x$ i valori dati dalle (3) nel primo membro della (1), si trova:

$a_{11}{\frac {\alpha _{1}A_{11}+\alpha _{2}A_{21}+\alpha _{3}A_{31}}{\Delta }}+a_{12}{\frac {\alpha _{1}A_{12}+\alpha _{2}A_{22}+\alpha _{3}A_{32}}{\Delta }}+$

$+a_{13}{\frac {\alpha _{1}A_{13}+\alpha _{2}A_{23}+\alpha _{3}A_{33}}{\Delta }}=$

$=\alpha _{1}{\frac {a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}}{\Delta }}+\alpha _{2}{\frac {a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+a_{13}A_{23}}{\Delta }}+$

$+\alpha _{3}{\frac {a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33}}{\Delta }}$.

Ora, per i teoremi fondamentali sui complementi algebrici, il coefficiente di $\alpha _{1}$ in questa equazione vale 1, mentre i coefficienti di $\alpha _{2},\alpha _{3}$ sono nulli. Dunque tutta questa espressione è proprio uguale ad $\alpha _{1}$; e la prima delle (1) è soddisfatta dalle (3). Altrettanto si può ripetere per le altre equazioni (1).

Esaminando le (3) si vede che il nostro risultato si può enunciare così:

Dato un sistema di n equazioni di primo grado ad n incognite col determinante dei coefficienti diverso da zero tutte le incognite risultano determinate. E precisamente ogni incognita è uguale alla frazione che ha per denominatore il determinante dei coefficienti e per numeratore il determinante che si ottiene sostituendo nel determinante dei coefficienti alla colonna dei coefficienti dell’incognita stessa la colonna dei termini noti.

Così, per esempio, il determinante dei coefficienti del sistema

$3x+2y+5z=2$

$x-7y+4z=0$

$9x+2y+3z=1$

è:

$\Delta ={\begin{vmatrix}3&2&5\\1&-7&4\\9&2&3\end{vmatrix}}=304$.

Il sistema dato è quindi soddisfatto soltanto dalle:

$x={\frac {\begin{vmatrix}2&2&5\\0&-7&4\\1&2&3\end{vmatrix}}{304}}=-{\frac {15}{304}}$;

$y={\frac {\begin{vmatrix}3&2&5\\1&0&4\\9&1&3\end{vmatrix}}{304}}={\frac {59}{304}}$;

$z={\frac {\begin{vmatrix}3&2&2\\1-7&0\\9&2&1\end{vmatrix}}{304}}={\frac {107}{304}}$.

Un caso particolare notevole.

Siano $\alpha _{i},\beta _{i},\gamma _{i}$, i coseni di direzione di tre rette $r_{z}$ a due a due ortogonali. Risolviamo le equazioni

(1)	${\begin{cases}\alpha _{1}x+\beta _{1}y+\gamma _{1}z=1\\\alpha _{2}x+\beta _{2}y+\gamma _{2}z=0\\\alpha _{3}x+\beta _{3}y+\gamma _{3}z=0.\end{cases}}$

Il determinante del sistema è (pagina 80, esempio 2°)

(2)	${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}}=\varepsilon$,

dove $\varepsilon$ indica il numero $+1$, o il numero $-1$.

Dunque il sistema dato ammette una e una sola soluzione, data dalla regola di Cramer

(3)

$x=\varepsilon {\begin{vmatrix}1&\beta _{1}&\gamma _{1}\\0&\beta _{2}&\gamma _{2}\\0&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}};$

$y=\varepsilon {\begin{vmatrix}\alpha _{1}&1&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&0&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&0&\gamma _{3}\end{vmatrix}};$

$z={\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&1\\\alpha _{2}&\beta _{2}&0\\\alpha _{3}&\beta _{3}&0\end{vmatrix}}.$

Ma ora il nostro sistema (1) è per le nostre ipotesi soddisfatto, quando si ponga $x=\alpha _{1}$, $y=\beta _{1}$, $z=\gamma _{1}$. Quindi dalle (3) si ricava che $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$ sono uguali al prodotto di $\varepsilon$ per i loro complementi algebrici nel determinante (2) del sistema (1).

Queste proprietà del determinante (2) trovano svariate applicazioni nella geometria analitica e nella meccanica razionale