Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/100

84

capitolo v — § 25

Posto

(2)	$\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$,

otterremo, sviluppano secondo gli elementi della prima colonna

$\Delta x_{1}={\begin{vmatrix}\alpha _{1}&a_{12}&a_{13}\\\alpha _{2}&a_{22}&a_{23}\\\alpha _{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$.

E, se $\Delta \not =0$, e se indichiamo con $A_{rs}$ il complemento algebrico di $a_{rs}$ in $\Delta$:

(3)	$x_{1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}\alpha _{1}&a_{12}&a_{13}\\\alpha _{2}&a_{22}&a_{23}\\\alpha _{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}={\frac {\alpha _{1}A_{11}+\alpha _{2}A_{21}+\alpha _{3}A_{31}}{\Delta }}$.

In modo analogo si prova:

(3)bis

$x_{2}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\alpha _{1}&a_{13}\\a_{21}&\alpha _{2}&a_{23}\\a_{31}&\alpha _{3}&a_{33}\end{vmatrix}}={\frac {\alpha _{1}A_{12}+\alpha _{2}A_{22}+\alpha _{3}A_{32}}{\Delta }}$.

(3)ter

$x_{3}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&\alpha _{2}\\a_{31}&a_{32}&\alpha _{3}\end{vmatrix}}={\frac {\alpha _{1}A_{13}+\alpha _{2}A_{23}+\alpha _{3}A_{33}}{\Delta }}$.

Se esistono quindi dei valori di $x$ che soddisfano a (1), tali valori debbono essere quelli dati da (3), se $\Delta \not =0$. Verifichiamo ora che, se $\Delta \not =0$, i valori dati dalle (3) soddisfano effettivamente ad (1), per esempio alla prima delle (1). Infatti, sostituendo alle $x$ i valori dati dalle (3) nel primo membro della (1), si trova:

$a_{11}{\frac {\alpha _{1}A_{11}+\alpha _{2}A_{21}+\alpha _{3}A_{31}}{\Delta }}+a_{12}{\frac {\alpha _{1}A_{12}+\alpha _{2}A_{22}+\alpha _{3}A_{32}}{\Delta }}+$

$+a_{13}{\frac {\alpha _{1}A_{13}+\alpha _{2}A_{23}+\alpha _{3}A_{33}}{\Delta }}=$

$=\alpha _{1}{\frac {a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}}{\Delta }}+\alpha _{2}{\frac {a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+a_{13}A_{23}}{\Delta }}+$

$+\alpha _{3}{\frac {a_{11}A_{31}+a_{12}A_{32}+a_{13}A_{33}}{\Delta }}$.