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capitolo v — § 25-26

Dunque il sistema dato ammette una e una sola soluzione, data dalla regola di Cramer

(3)

$x=\varepsilon {\begin{vmatrix}1&\beta _{1}&\gamma _{1}\\0&\beta _{2}&\gamma _{2}\\0&\beta _{3}&\gamma _{3}\end{vmatrix}};$

$y=\varepsilon {\begin{vmatrix}\alpha _{1}&1&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&0&\gamma _{2}\\\alpha _{3}&0&\gamma _{3}\end{vmatrix}};$

$z={\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&1\\\alpha _{2}&\beta _{2}&0\\\alpha _{3}&\beta _{3}&0\end{vmatrix}}.$

Ma ora il nostro sistema (1) è per le nostre ipotesi soddisfatto, quando si ponga $x=\alpha _{1}$, $y=\beta _{1}$, $z=\gamma _{1}$. Quindi dalle (3) si ricava che $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$ sono uguali al prodotto di $\varepsilon$ per i loro complementi algebrici nel determinante (2) del sistema (1).

Queste proprietà del determinante (2) trovano svariate applicazioni nella geometria analitica e nella meccanica razionale

§ 26. — Regola di Rouché.

Ritorniamo al sistema più generale [1] del § 24. Scegliamo tra le [1] un certo numero $h$ di equazioni, e in queste equazioni diamo valori arbitrarii ad $n-h$ incognite (con $h$ indichiamo un intero non maggiore nè di $n$, nè di $m$). Otterremo così un sistema di $h$ equazioni in $h$ incognite. Senz’altro supporremo che le equazioni scelte siano le prime $h$, e che le incognite a cui sono stati dati valori arbitrarii sieno le ultime $n-h$, cioè le $x_{h+1},x_{h+2},\ldots ,x_{n}$. Nè ciò del resto diminuisce la generalità, perchè possiamo sempre ridurci a questo caso, mutando l’ordine delle equazioni e quello delle incognite. In questo modo avremo ottenuto un sistema di $h$ equazioni in $h$ incognite $x_{1},x_{2},\ldots x_{h}$.

(2)

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1h}x_{h}=[\alpha _{1}-a_{1,h+1}x_{h+1}-\cdots -a_{1n}x_{n}]\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2h}x_{h}=[\alpha _{2}-a_{2,h+1}x_{h+1}-\cdots -a_{2n}x_{n}]\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{h1}x_{1}+a_{h2}x_{2}+\cdots +a_{hh}x_{h}=[\alpha _{h}-a_{h,h+1}x_{h+1}-\cdots -a_{hn}x_{n}]\end{cases}}$

dove le $x_{h+1},\ldots ,x_{n}$ sono da riguardarsi come note, perchè ad esse diamo valori arbitrarii, che ancora indichiamo con $x_{h+1},\ldots +x_{n}$. Queste equazioni si potranno risolvere con la regola di Leibniz-Cramer del § 25, se il determinante dei coefficienti

(3)	${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1h}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2h}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{h1}&a_{h2}&\cdots &a_{hh}\end{vmatrix}}$

è differente da zero. Generalmente potremo in modi molteplici scegliere le $h$ equazioni ed $h$ incognite in guisa che sia soddisfatta quest’ultima condizione. E noi anzi cercheremo di fare