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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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Il secondo membro di questa equazione vale $D$. Nel primo membro il coefficiente della $x_{1}$ è $a_{11}A_{1}+a_{21}A_{2}+a_{31}A_{3}+a_{41}A_{4}$, cioè la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi della prima colonna di (3) per i complementi algebrici degli elementi della quarta colonna, ed è quindi nullo. Altrettanto dicasi per $x_{2}$ e per $x_{3}$. Dunque alla quarta equazione di [1] noi possiamo costruire la $D=0$; il sistema si muta in un sistema equivalente.

Se invece $A_{4}=0$, allora è ancora vero che l’uguaglianza $D=0$ è conseguenza delle equazioni date (4). Ma non è in tale caso sempre vero che, sostituendo alla quarta delle (2) la $D=0$, il sistema sia mutato in un sistema equivalente. Dunque:

Se son date $\mathrm {n} +1$ equazioni lineari in n incognite, è conseguenza di tali equazioni l’uguaglianza che si ottiene ponendo uguale a zero il determinante D formato coi coefficienti e coi termini noti (cosicchè, se $D\not =0$, il dato sistema è assurdo, o, come si suol dire, è incompatibile, cioè non ammette alcun sistema di soluzioni). Ed anzi se il determinante formato coi coefficienti delle prime $n$ incognite nelle prime $n$ equazioni è diverso da zero, il dato sistema di equazioni si muta in un sistema equivalente, quando si lascino invariate le prime $n$ equazioni, e si sostituisca all’ultima la $D=0$.

§ 25. — Regola di Leibniz-Cramer.

Siano date $n$ equazioni in $n$ incognite: per esempio le seguenti, ove per semplicità è posto $n=3$.

(1)	${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=\alpha _{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=\alpha _{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=\alpha _{3}\end{cases}}$

che possiamo scrivere, per esempio, nella forma:

$a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=\alpha _{1}-a_{11}x_{1}$

$a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=\alpha _{2}-a_{21}x_{1}$

$a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=\alpha _{3}-a_{31}x_{1}$

Se noi per un momento consideriamo $x_{1}$ come noto, questo è un sistema di tre equazioni nelle due incognite $x_{2}$, $x_{3}$.

Per il risultato del § 24 ne verrà:

${\begin{vmatrix}\alpha _{1}-a_{11}x_{1}&a_{12}&a_{13}\\\alpha _{2}-a_{21}x_{1}&a_{22}&a_{23}\\\alpha _{3}-a_{31}x_{1}&a_{32}&a_{32}\end{vmatrix}}=0$.