Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 24

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Sistemi di equazioni lineari. Teorema preliminare

../Esempi paragrafo 23 ../Paragrafo 25 IncludiIntestazione 3 maggio 2023 100% Da definire

Questo testo è stato riletto e controllato.

Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 5 - Sistemi di equazioni lineari. Teorema preliminare

◄

Capitolo 5 - Esempi paragrafo 23

Capitolo 5 - Paragrafo 25

►

§ 24. — Sistemi di equazioni lineari. Teorema preliminare.

Per un sistema di $m$ equazioni di primo grado (o, come anche si dice, lineari) ad $n$ incognite $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ s’intende naturalmente un sistema di $m$ equazioni, ciascuna delle quali sia della forma:

$\alpha x_{1}+\beta x_{2}+\gamma x_{3}+\ldots +\lambda x_{n}=p$,

dove le $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,\lambda ,p$ sono numeri costanti dati ($\alpha ,\beta ,\ldots ,\lambda$ coefficienti dell’equazione; $p$ termine noto).

Il problema della risoluzione di queste equazioni consiste dunque nel cercare tutti gli speciali sistemi di valori da darsi alle $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, in modo che le $m$ equazioni ne restino tutte soddisfatte simultaneamente.

Indicando in generale con $a_{ij}$ il coefficiente della incognita $x_{j}$ nella $i^{ma}$ equazione e con $\alpha _{i}$ il termine noto, che sta al secondo membro di questa equazione, è chiaro che il sistema nelle $m$ equazioni date fra le $n$ incognite assumerà la forma seguente:

[1]

${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1,n-1}x_{n-1}+a_{1n}x_{n}=\alpha _{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2,n-1}x_{n-1}+a_{2n}x_{n}=\alpha _{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}+x_{2}+\cdots +a_{m,n-1}x_{n-1}+a_{m,n}x_{n}=\alpha _{m}\end{cases}}$

Due tali sistemi di equazioni lineari nelle stesse $n$ incognite si dicono equivalenti se ogni sistema di valori delle $x$, che soddisfa all’uno, soddisfa anche all’altro, e viceversa.

Due sistemi equivalenti a [1] sono equivalenti tra di loro. È poi noto ed evidente:

Un sistema [1] è equivalente ad un altro sistema che si deduce da [1] moltiplicando una delle date equazioni per un numero differente da zero e lasciando invariate le altre equazioni.

Un sistema [1] è equivalente al sistema che se ne deduce moltiplicando una delle sue equazioni per un numero differente da zero, e aggiungendo ad essa le precedenti equazioni moltiplicate per un numero arbitrario, mentre si lasciano invariate le altre equazioni di [1].

Nell’algebra elementare si insegna a risolvere un tale sistema, mostrando che, dato un sistema di più equazioni in più incognite, se ne può generalmente dedurre uno con un minor numero di incognite eliminando almeno una incognita. Nelle righe seguenti ci occupiamo in generale dell’eliminazione anche di più incognite da un tale sistema di equazioni.

Cominciamo dal considerare un sistema di $n+1$ equazioni in $n$ incognite; e, per fissare le idee, supponiamo $n=3$. Ragionamento e risultato valgono però in generale. Siano

(2)	${\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=\alpha _{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=\alpha _{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=\alpha _{3}\\a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3}=\alpha _{4}\end{cases}}$

le date equazioni.

Consideriamo il determinante

(3)	$D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\alpha _{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\alpha _{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\alpha _{3}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&\alpha _{4}\end{vmatrix}}$

Con $A_{r}$ indichiamo il complemento algebrico di $\alpha _{r}$

$(r=1,2,3,4)$.

Sarà $D=\alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+\alpha _{3}A_{3}+\alpha _{4}A_{4}$. Supponiamo $A_{4}\not =0$.

Per la precedente osservazione il sistema (2) si muta in un sistema equivalente se noi, pur lasciando immutate le prime tre equazioni, sostituiamo alla quarta l’equazione che si ottiene moltiplicandola per $A_{4}$ ed aggiungendo le prime tre moltiplicate rispettivamente per $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$. Vale a dire il sistema (2) si trasforma in un sistema equivalente se ne conserviamo le prime tre equazioni, e alla quarta sostituiamo:

(4)	$A_{1}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3})+A_{2}(a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3})+$
	$+A_{3}(a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3})+A_{4}(a_{41}x_{1}+a_{42}x_{2}+a_{43}x_{3})=$
	$=\alpha _{1}A_{1}+\alpha _{2}A_{2}+\alpha _{3}A_{3}+\alpha _{4}A_{4}$.

Il secondo membro di questa equazione vale $D$. Nel primo membro il coefficiente della $x_{1}$ è $a_{11}A_{1}+a_{21}A_{2}+a_{31}A_{3}+a_{41}A_{4}$, cioè la somma dei prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi della prima colonna di (3) per i complementi algebrici degli elementi della quarta colonna, ed è quindi nullo. Altrettanto dicasi per $x_{2}$ e per $x_{3}$. Dunque alla quarta equazione di [1] noi possiamo costruire la $D=0$; il sistema si muta in un sistema equivalente.

Se invece $A_{4}=0$, allora è ancora vero che l’uguaglianza $D=0$ è conseguenza delle equazioni date (4). Ma non è in tale caso sempre vero che, sostituendo alla quarta delle (2) la $D=0$, il sistema sia mutato in un sistema equivalente. Dunque:

Se son date $\mathrm {n} +1$ equazioni lineari in n incognite, è conseguenza di tali equazioni l’uguaglianza che si ottiene ponendo uguale a zero il determinante D formato coi coefficienti e coi termini noti (cosicchè, se $D\not =0$, il dato sistema è assurdo, o, come si suol dire, è incompatibile, cioè non ammette alcun sistema di soluzioni). Ed anzi se il determinante formato coi coefficienti delle prime $n$ incognite nelle prime $n$ equazioni è diverso da zero, il dato sistema di equazioni si muta in un sistema equivalente, quando si lascino invariate le prime $n$ equazioni, e si sostituisca all’ultima la $D=0$.