Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 23

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Il determinante di Vandermonde e il discriminante di un'equazione algebrica. Separazione delle radici di una tale equazione

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 23. — Il determinante di Vandermonde e il discriminante di un’equazione algebrica. Separazione delle radici di una tale equazione.

Se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ sono $n$ numeri qualsiasi, si calcoli il determinante (di Vandermonde)

$D={\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&\cdots &\alpha _{n}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\alpha _{3}^{2}&\cdots &\alpha _{n}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1}^{n-1}&\alpha _{2}^{n-1}&\alpha _{3}^{n-1}&\cdots &\alpha _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Sottraendo successivamente dalla $n^{esima}$, dalla $(n-1)^{esima},\cdots ,$ dalla $2^{a}$ orizzontale la precedente moltiplicate per $\alpha _{1}$, il determinante $D$ resta scritto nella forma

${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\0&\alpha _{2}-\alpha _{1}&\alpha _{3}-\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}-\alpha _{1}\\0&\alpha _{2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\alpha _{3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\0&\alpha _{2}^{n-3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\alpha _{3}^{n-3}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\dots &\alpha _{n}^{n-3}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\0&\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\alpha _{3}^{n-2}(\alpha _{3}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-2}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}\alpha _{2}-\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{n}-\alpha _{1}\\\alpha _{3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2}^{n-3}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-3}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\\\alpha _{2}^{n-2}(\alpha _{2}-\alpha _{1})&\cdots &\alpha _{n}^{n-3}(\alpha _{n}-\alpha _{1})\end{vmatrix}}=$

$=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})\ldots (\alpha _{n}-\alpha _{1}){\begin{vmatrix}1&1&\cdots &1\\\alpha _{2}&\alpha _{3}&\cdots &\alpha _{n}\\\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{2}^{n-3}&\alpha _{3}^{n-3}&\cdots &\alpha _{n}^{n-3}\\\alpha _{2}^{n-2}&\alpha _{3}^{n-2}&\cdots &\alpha _{n}^{n-2}\end{vmatrix}}.$

Ora, se $n=2$, si trova che $D=\alpha _{2}-\alpha _{1}$; servendosi della precedente identità, che riduce il calcolo di un determinante di Vandermonde di ordine $n$ al calcolo di un determinante analogo di ordine $n-1$, si trova che:

Se $n=3$, $D=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{2})$.

Se $n=4$, $D=(\alpha _{2}-\alpha _{1})(\alpha _{3}-\alpha _{1})(\alpha _{4}-\alpha _{1})\cdot$

$\cdot (\alpha _{3}-\alpha _{2})(\alpha _{4}-\alpha _{2})(\alpha _{4}-\alpha _{3})$.

Per $n$ qualsiasi $D$ è uguale al prodotto delle ${\frac {1}{2}}n(n-1)$ differenze delle quantità $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}$ a due a due, in cui l'indice del minuendo superi l'indice del sottraendo.

$\alpha )$ Se noi innalziamo al quadrato il determinante di Vandermonde troviamo

$D^{2}=\Delta ={\begin{vmatrix}n&s_{1}&s_{2}&\cdots &s_{n-1}\\s_{1}&s_{2}&s_{3}&\cdots &s_{n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\s_{n-1}&s_{n}&s_{n+1}&\cdots &s_{2n-2}\end{vmatrix}}$.

dove con $s_{h}$ ho indicato la somma delle $h^{esime}$ potenze delle $\alpha$ (per $h=1,2,\ldots ,2n-2)$.

Questo determinante $\Delta$ si chiama il discriminante degli $n$ numeri dati; esso è nullo soltanto se almeno due di questi numeri sono uguali tra di loro. Se le $\alpha$ sono le radici di una data equazione algebrica, le formole del § 14 $\gamma$, pagina 50, permettono di calcolare tale discriminante senza risolvere l’equazione, perchè le $s_{h}$ si possono calcolare tosto, appena sono dati i coefficienti dell’equazione. Abbiamo così un metodo per riconoscere quando due delle radici di una data equazione sono tra loro uguali.

colare tosto, appena sono dati i coefficienti dell’equazione. Abbiamo così un metodo per riconoscere quando due delle radici di una data equazione sono tra loro uguali.

$\beta$) Il discriminante può servire (almeno teoricamente) a calcolare approssimativamente le radici reali di una equazione a coefficienti reali, che abbia radici tutte distinte.

Se $P(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n-1}x+a_{n}=0$ è una tale equazione, esistono molti metodi per trovare un numero positivo $B$ maggiore del modulo di ogni sua radice¹ reale o complessa.

Noi diremo che abbiamo calcolato in prima approssimazione, o anche che abbiamo separato le radici reali di tale equazione, se per ogni tale radice $\alpha$ sappiamo assegnare un intervallo dentro al quale sia contenuta la radice $\alpha$ e nessuna altra radice. Impareremo più avanti come il metodo Newton-Fourier permetta poi di dedurre valori di $\alpha$ approssimati a piacere. Se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ sono le radici reali di tale equazione, è $P(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\ldots (x-\alpha _{r})Q(x)$ dove $Q(x)$ è un prodotto di fattori di secondo grado sempre positivi in $x$ reale. Cosicchè, se $\mu ,\nu$ sono due numeri reali tali che $P(\mu )$ e $P(\nu )$ abbiano segni opposti, certo nell’intervallo $(\mu ,\nu )$ esiste un numero dispari di radici $\alpha$, e quindi almeno una radice $\alpha$.

Se $\lambda$ è un numero positivo minore dei valori assoluti di tutte le differenze tra le radici reali combinare a due a due, allora, formano una progressione aritmetica indefinita in ambo i sensi, in cui la differenza tra due termini consecutivi sia eguale a codesto numero $\lambda$, tra due termini consecutivi della progressione potrà essere compresa una sola radice o nessuna. E, per quanto si disse, sarà facile assicurarsi se tra due termini consecutivi della progressione sia compresa o no una radice, poichè nel primo caso essi, sostituiti all’incognita $x$, faranno prendere al primo membro $P(x)$ dell’equazione segni opposti, nel secondo caso lo stesso segno².

Evidentemente è inutile protrarre la progressione indefinitamente: basta tener conto solo di quei termini della progressione che cadono nell’intervallo compreso tra $-B$ e $+B$. In ognuno degli intervallini, ai cui estremi $P(x)$ ha segni opposti, e in essi soli, cade una e una sola radice di $P(x)=0$. Basterà tener conto di tali intervallini e traascurare gli altri perchè sia risolto il nostro problema di separare le radici della nostra equazione.

Il nostro problema è dunque ridotto alla determinazione del numero $\lambda$. Si noti che, se $\alpha _{1}$ ed $\alpha _{9}$ sono due radici qualunque, è $|\alpha _{1}-\alpha _{2}|\leq |\alpha _{1}|+|\alpha _{2}|\leq 2B$.

Sostituendo nel valore (che sappiamo calcolare) di

$\Delta =(\alpha _{1}-\alpha _{2})^{2}(\alpha _{1}-\alpha _{3})^{2}\ldots (\alpha _{n}-1-\alpha _{\mu }^{2})$

in luogo di tutti i fattori, eccettuato $(\alpha _{1}-\alpha _{2})$, il numero maggiore (in valore assoluto) $|2B|$, si avrà:

$|\Delta |\leq |\alpha _{1}-\alpha _{2}|^{2}{(2B)^{2^{{\frac {n-(n-1)}{2}}-1}}}$; onde ${\sqrt {|\Delta |}}\leq |\alpha _{1}-\alpha _{2}||2B|^{{\frac {n(n-1)-1}{2}}-1}$ ossia

$|\alpha _{1}-\alpha _{2}|\geq {\sqrt {|\Delta |}}:(2B)^{{\frac {n(n-1)}{2}}-1}$.

Il secondo membro è minore del modulo della differenza tra le due radici reali $\alpha _{1},\alpha _{2}$, che si possono scegliere ad arbitrio tra le radici reali dell’equazione. Possiamo dunque assumere:

$\lambda ={\frac {|{\sqrt {\Delta }}|}{(2B)^{{\frac {n(n-1)}{2}}-1}}}$

Osservazione Supponiamo in particolare che i coefficienti dell’equazione siano interi, ed il primo $a_{0}$ uguagli l’unità. Allora il discriminante, essendo un polinomio a coefficienti interi formato coi rapporti ${\frac {a_{1}}{a_{0}}},{\frac {a_{2}}{a_{0}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ che sono numeri interi, sarà un numero intero, e quindi certamente sarà ${\sqrt {|\Delta |}}\geq 1$³. Dunque possiamo anche assumere

$\lambda ={\frac {1}{(2B)^{{\frac {n(n-1)}{2}}-1}}}$.

Se poi $a_{0}$ non fosse uguale ad 1, si ponga $z={\frac {y}{a_{0}}}$, assumendo $y$ come incognita. L’equazione diventa $a_{0}\left({\frac {y}{a_{0}}}\right)^{n}+a_{1}\left({\frac {y}{a_{0}}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{\frac {y}{a_{0}}}+a_{n}=0$, ossia $y^{n}+a_{1}y^{n-1}+a_{2}a_{0}y^{n-2}+\cdots +a_{n-1}a_{0}^{n-2}y+a_{n}a_{0}^{n-1}=0$, che è un’equazione a coefficienti interi col primo coefficiente uguale all’unità. E siamo ricondotti al caso precedente.

Nei trattati di algebra complementare sono dati molti altri metodi per separare e per calcolare approssimativamente le radici di una equazione algebrica.

Note

1. Ecco, per esempio un metodo teoricamenre semplice. Sia $A$ la massima delle $|a_{1}|,|a_{2}|,\ldots ,|a_{n}|$. Sarà

   $|P(x)|\geq |x|^{n}-\left\{|a_{1}x^{n-1}|+|a_{2}x^{n-2}|+\ldots +|a_{n}|\right\}\geq$

   $|x|^{n}-A\left\{|x|^{n-1}+|x|^{n-2}+\ldots +|x|+1\right\}=|x|^{n}-A{\frac {|x|^{n}-1}{|x|-1}}$

   cioè

   $|P(x)|\geq {\frac {x^{|n|}|x|-A-1|+A}{|x|-1}}$. Se dunque $|x|\geq A+1$, allora sarà $|P(x)|>0$. Quindi se $x$ è radice di $P(x)=0$, il suo modulo $|x|$ sarà inferiore ad $A+1$. Potremo dunque porre $B=A+1$. Per altri metodi, che permettono di assegnare un valore più piccolo al numero $B$ rinvio ai trattati di algebra.

2. Non porta che semplificazioni il caso che uno dei termini della progressione sia esso stesso una radice.
3. Non può essere $\Delta =0$ nell’attuale ipotesi che le radici della nostra equazione sieno distinte.