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determinanti, sistemi di equazione di primo grado

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ossia

$|\alpha _{1}-\alpha _{2}|\geq {\sqrt {|\Delta |}}:(2B)^{{\frac {n(n-1)}{2}}-1}$.

Il secondo membro è minore del modulo della differenza tra le due radici reali $\alpha _{1},\alpha _{2}$, che si possono scegliere ad arbitrio tra le radici reali dell’equazione. Possiamo dunque assumere:

$\lambda ={\frac {|{\sqrt {\Delta }}|}{(2B)^{{\frac {n(n-1)}{2}}-1}}}$

Osservazione Supponiamo in particolare che i coefficienti dell’equazione siano interi, ed il primo $a_{0}$ uguagli l’unità. Allora il discriminante, essendo un polinomio a coefficienti interi formato coi rapporti ${\frac {a_{1}}{a_{0}}},{\frac {a_{2}}{a_{0}}},\ldots ,{\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ che sono numeri interi, sarà un numero intero, e quindi certamente sarà ${\sqrt {|\Delta |}}\geq 1$¹. Dunque possiamo anche assumere

$\lambda ={\frac {1}{(2B)^{{\frac {n(n-1)}{2}}-1}}}$.

Se poi $a_{0}$ non fosse uguale ad 1, si ponga $z={\frac {y}{a_{0}}}$, assumendo $y$ come incognita. L’equazione diventa $a_{0}\left({\frac {y}{a_{0}}}\right)^{n}+a_{1}\left({\frac {y}{a_{0}}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{\frac {y}{a_{0}}}+a_{n}=0$, ossia $y^{n}+a_{1}y^{n-1}+a_{2}a_{0}y^{n-2}+\cdots +a_{n-1}a_{0}^{n-2}y+a_{n}a_{0}^{n-1}=0$, che è un’equazione a coefficienti interi col primo coefficiente uguale all’unità. E siamo ricondotti al caso precedente.

Nei trattati di algebra complementare sono dati molti altri metodi per separare e per calcolare approssimativamente le radici di una equazione algebrica.

Esempi².

1° Se $\alpha _{1}$, $\beta _{1}$, $\gamma _{1}$ ed $\alpha _{2}$, $\beta _{2}$, $\gamma _{2}$ sono i coseni direttori di due rette, rispetto a una terna di assi cartesiani ortogonali, è noto dalla geometria che l’angolo $\theta$ delle due rette soddisfa alla

$\cos \theta =\alpha _{1}\alpha _{2}+\beta _{1}\beta _{2}+\gamma _{1}\gamma _{2}$.

Quindi:

${\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\end{vmatrix}}^{2}={\begin{vmatrix}1&\cos \theta \\\cos \theta &1\end{vmatrix}}=1-\cos ^{2}\theta =\operatorname {sen} ^{2}\theta$

donde:

$\sin \theta =\pm {\sqrt {{\begin{vmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}&\gamma _{1}\\\alpha _{2}&\beta _{2}&\gamma _{2}\end{vmatrix}}^{2}}}=\pm {\sqrt {(\alpha _{1}\beta _{2}-\beta _{1}\alpha _{2})^{2}+(\beta _{1}\gamma _{2}-\beta _{2}\gamma _{1})^{2}+(\gamma _{1}\alpha _{2}-\alpha _{1}\gamma _{2})^{2}}}$.

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1. Non può essere $\Delta =0$ nell’attuale ipotesi che le radici della nostra equazione sieno distinte.
2. I seguenti esempio sono importanti specialmente per le applicazioni che se ne fanno nei corsi di geometria analitica.