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capitolo v — § 22-23

$\gamma$) Consideriamo le due matrici:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{Vmatrix}}$,

${\begin{Vmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&c_{23}\end{Vmatrix}}$.

Se le moltiplichiamo per orizzontali, come se fossero determinanti, otteniamo il determinante di secondo ordine

$C={\begin{vmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}&a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{13}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{13}+a_{23}b_{13}&a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}\end{vmatrix}}$,

che si verifica subito uguale a

${\begin{vmatrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}b_{11}b_{12}\\b_{21}b_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}a_{13}\\a_{21}a_{23}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}b_{11}b_{13}\\b_{21}b_{23}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{12}b_{13}\\a_{22}a_{23}\end{vmatrix}}$   ${\begin{vmatrix}b_{12}b_{13}\\b_{22}b_{23}\end{vmatrix}}$,

e che si chiamerà prodotto delle due matrici.

Se invece si moltiplica per verticali, si ottiene un determinante di terzo ordine identicamente nullo, perchè uguale al prodotto per verticali dei determinanti nulli

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&,\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\\0&0&0&\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&.\\0&0&0&\end{vmatrix}}$

Mentre le due matrici sono simboli privi di significato, il loro prodotto ha dunque un significato preciso.

Queste osservazioni si possono generalizzare a matrici qualsiasi, ma per tali studii rinvio ai trattati di algebra.

§ 23. — Il determinante di Vandermonde e il discriminante di un’equazione algebrica. Separazione delle radici di una tale equazione.

Se $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ sono $n$ numeri qualsiasi, si calcoli il determinante (di Vandermonde)

$D={\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&\cdots &\alpha _{n}\\\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\alpha _{3}^{2}&\cdots &\alpha _{n}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\alpha _{1}^{n-1}&\alpha _{2}^{n-1}&\alpha _{3}^{n-1}&\cdots &\alpha _{n}^{n-1}\end{vmatrix}}$

Sottraendo successivamente dalla $n^{esima}$, dalla $(n-1)^{esima},\cdots ,$ dalla $2^{a}$ orizzontale la precedente moltiplicate per $\alpha _{1}$, il deter-