Lezioni di analisi matematica/Capitolo 5/Paragrafo 22

by Guido Fubini

Capitolo 5 - Prodotto di due determinanti

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 22. — Prodotto di due determinanti.

Siano dati due determinanti

$A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\cdots &\dots &\dots &\cdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}},\,\,B={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\b_{n1}&b_{n2}&\cdots &b_{nn}\end{vmatrix}}$

di ordine n. Io dico che il loro prodotto è uguale al determinante C di ordine n,

$C={\begin{vmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{nn}\end{vmatrix}}$

ove$\mathrm {c} _{rs}=\mathrm {a} _{r1}\mathrm {b} _{s1}+\mathrm {a} _{r2}\mathrm {b} _{s2}+\cdots +\mathrm {a} _{rn}\mathrm {b} _{sn}$.

Cosicchè, suposto per fissar le idee $n=3$:

(1)

$AB={\begin{vmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}&a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{23}&a_{11}b_{31}+a_{12}b_{32}+a_{13}b_{33}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{12}+a_{23}b_{13}&a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}&a_{21}b_{31}+a_{22}b_{32}+a_{33}b_{33}\\a_{31}b_{11}+a_{32}b_{12}+a_{33}b_{13}&a_{31}b_{21}+a_{32}b_{22}+a_{33}b_{23}&a_{31}b_{31}+a_{32}b_{32}+a_{33}b_{33}\end{vmatrix}}$

Il determinante del secondo membro è la somma dei 27 determinanti che si ottengono conservando in ciascuna colonna uno solo dei tre addendi: il primo, il secondo o il terzo. Se in due colonne conserviamo addendi di egual posto (in entrambe le colonne il primo addendo, o in entrambe il secondo, o in entrambe il terzo), il determinante così ottenuto avrà due colonne proporzionali e quindi (teorema VI, $\alpha$, § 20, pag. 71) sarà nullo. [Così, per esempio, conservando nelle prime due colonne il primo addendo, gli elementi di queste colonne si ottengono moltiplicando $a_{11},a_{21},a_{31}$ rispettivamente per $b_{11}$ e per $b_{21}$]. Dei 27 determinanti basta per ciò tener conto dei soli sei differenti da zero, che si ottengono scegliendo in una colonna il primo addendo, in un’altra il secondo, nella residua il terzo. Consideriamo uno di questi sei determinanti, per esempio

${\begin{vmatrix}a_{12}b_{12}&a_{13}b_{23}&a_{11}b_{31}\\a_{22}b_{12}&a_{23}b_{23}&a_{21}b_{31}\\a_{32}b_{12}&a_{33}b_{23}&a_{31}b_{31}\end{vmatrix}}$

ottenuto, scegliendo nella $1^{\mathrm {a} }$ colonna il secondo addendo, nella seconda il terzo, e nella terza il primo. Esso vale

$b_{12}b_{33}b_{31}{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&a_{11}\\a_{22}&a_{23}&a_{21}\\a_{32}&a_{33}&a_{31}\end{vmatrix}}$.

(2)

Ora con c trasposizioni di colonne il determinante ${\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}&a_{11}\\a_{22}&a_{23}&a_{13}\\a_{32}&a_{22}&a_{31}\end{vmatrix}}$ si muti in $A$. Tale determinante varrà $(-1)^{c}A$; e quindi (2) vale $(-1)^{c}b_{12}b_{23}b_{31}A$. Ma con le stesse $c$ trasposizioni di colonne eseguite sul determinante $B$, il termine $b_{12}b_{23}b_{31}$ va nel termine principale; perciò (teorema III del § 21) $(-1)^{c}b_{12}b_{23}b_{31}$ vale un termine di $B$. Perciò (2) è il prodotto di $A$ per un termine di $B$. Ripetendo questa considerazione per i sei determinanti sopra citati, si trova che il secondo membro di (1) vale il prodotto di $A$ per la somma dei sei termini di $B$, cioè vale il prodotto $AB$, come dovevasi provare.

$\beta )$ Osservazioni. Notiamo che, invertendo l’ordine dei due determinanti $A$ e $B$, il loro prodotto non cambia; ciò si verifica facilmente osservando che questa inversione equivale a scambiare in $C$ le orizzontali con le verticali.

Il determinante $C$ si dice il prodotto eseguito per orizzontali dei due determinanti $A$ e $B$; la regola esposta per ottenere questo prodotto si dice regola di moltiplicazione per orizzontali degli stessi $A$ e $B$.

Per moltiplicare $A$ per $B$ potrei anche scambiare nei determinanti $A$ e $B$ le righe con le colonne, ciò che non altera i valori dei due determinanti, e poi eseguire il prodotto con la regola precedente. Ciò equivale a trasporre, nell’ultima formola del prodotto $AB$, i due indici di ogni elemento $a$ e quelli di ogni elemento $b$ od anche a porre $c_{rs}=a_{1r}b_{1s}+a_{2r}b_{2s}+a_{3r}b_{3s}$. Il prodotto così ottenuto dicesi prodotto per verticali.

Infine si potevano scambiare le righe con le colonne in uno solo dei due fattori $A$, $B$.

Se i due determinanti $A$, $B$ non fossero del medesimo ordine, allora, per eseguire il prodotto col metodo precedente, si deve elevare l’ordine del determinante di ordine minore, finchè i due determinanti abbiano lo stesso ordine, ed applicare infine la regola precedente (§ 20, teorema X c, pag. 72).

Ricordo che il quadrato di A uguaglia A, A e si ottiene dalla formola precedente, ponendo $a_{rs}=b_{rs}$.

$\gamma$) Consideriamo le due matrici:

${\begin{Vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{Vmatrix}}$,

${\begin{Vmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&c_{23}\end{Vmatrix}}$.

Se le moltiplichiamo per orizzontali, come se fossero determinanti, otteniamo il determinante di secondo ordine

$C={\begin{vmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{12}+a_{13}b_{13}&a_{11}b_{21}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{13}\\a_{21}b_{11}+a_{22}b_{13}+a_{23}b_{13}&a_{21}b_{21}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{23}\end{vmatrix}}$,

che si verifica subito uguale a

${\begin{vmatrix}a_{11}a_{12}\\a_{21}a_{22}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}b_{11}b_{12}\\b_{21}b_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}a_{13}\\a_{21}a_{23}\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}b_{11}b_{13}\\b_{21}b_{23}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{12}b_{13}\\a_{22}a_{23}\end{vmatrix}}$   ${\begin{vmatrix}b_{12}b_{13}\\b_{22}b_{23}\end{vmatrix}}$,

e che si chiamerà prodotto delle due matrici.

Se invece si moltiplica per verticali, si ottiene un determinante di terzo ordine identicamente nullo, perchè uguale al prodotto per verticali dei determinanti nulli

${\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&,\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\\0&0&0&\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}&\\b_{21}&b_{22}&b_{23}&.\\0&0&0&\end{vmatrix}}$

Mentre le due matrici sono simboli privi di significato, il loro prodotto ha dunque un significato preciso.

Queste osservazioni si possono generalizzare a matrici qualsiasi, ma per tali studii rinvio ai trattati di algebra.