Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Esercizi

Capitolo 4 - Esercizi

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Esercizi.

1° Dati punti, tra qualunque dei quali non sono mai in linea retta, quante sono le rette che contengono due di tali punti?

Ris. .

2° Quante sono le estrazioni possibili distinte al gioco del lotto?

Ris. .

3° Quante sono le estrazioni possibili al gioco del lotto, in cui dei numeri estratti sono prefissati a priori?

Ris. Dei 5 numeri estratti, sono prefissati; i restanti devonsi scegliere tra i residui numeri. Il numero cercato è perciò . Per si ottiene il [p. 56 modifica]numero dei casi, in è possibile vincere un ambo, un terno, una quaterna secca. Tale numero diviso per il numero (esercizio 2°) delle possibili estrazioni dà la cosidetta probabilità di vittoria.

4° Dati numeri interi positivi non maggiori di , in quante estrazioni del lotto può avvenire che nei numeri estratti, e non più di siano tra numeri dati?

Poichè dei numeri estratti sono da scegliere tra gli numeri dati e gli altri tra i residui , il numero cercato è .

5° Dati interi positivi non maggiori di , in quante estrazioni del lotto può avvenire che almeno dei numeri estratti sieno tra gli numeri dati?

Si devono sommare, se per esempio , il valore delle estrazioni di cui all'esercizio 4°, relativi ai valori .

6° Dimostrare che .

Ris. . Si verifichi direttamente.

Ris. . Si osservi che tra le combinazione degli elementi ad ad ve ne sono che non contengono ed che non lo contengono.

7° Dimostrare che ; (Confronta esercizio 6°).
8° Sviluppare .

Ris. Si ponga e si sviluppi, sostituendo poi alle singole potenze di lo sviluppo corrispondente di , eccetera. Si trova che il coefficiente di ( interi positivi di somma ) è , come si può provare anche direttamente.

9° La somma dei coefficienti dello sviluppo di vale : la somma dei coefficienti dello sviluppo di vale zero.

Ris. Infatti tali somme sono uguali ai valori di per .

10° Sviluppare e calcolare la somma dei coefficienti dello sviluppo.
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11° Dimostrare che i numeri contenuti nelle orizzontali del quadro

sono ordinatamente i coefficienti dello sviluppo di , , , , eccetera. Si noti che il termine di posto della riga di posto si ottiene sommando i termini di posto ed della riga precedente .

12° Calcolare il numero delle combinazioni con ripetizioni (in cui cioè uno stesso elemento può essere ripetuto una o più volte) di elementi ad ad ?

Ris. Quelle di tali combinazioni che non contengono il primo degli elementi dati sono (se in numero di . Quelle che lo contengono sono in numero di , quando sia posto . Dunque si ha . Queste proprietà, insieme alle bastano a definire . Dunque , perchè gode (esercizio 6°) di tutte queste proprietà.

13° Dalla si deducano, sviluppando il primo membro con la formola del binomio, i valori di e .

Ris.

che si possono scrivere anche in altro modo ricordando che

; , eccetera
14° In modo simile dalla

[p. 58 modifica]si possono dedurre le formole di addizione più generali per calcolare e .

15° Il lettore deduca in modo analogo dalla

che si può esprimere come funzione lineare di seni e di coseni di multipli dell’angolo .

16° Dimostrare che

,

per tutti i valori dell’intero .

17° Cacolare .

Ris. È . Quindi .

18° calcolare per via trigonometrica , per ogni valore dell’intero positivo .
19° Porre sotto forma trigonometrica i numeri

.


20° Calcolare per via trigonometrica le radici di per .
21° Semplificare le espressioni

.

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22° L’equazione ha per radici , cioè le radici dell’unità. Queste radici soddisfano dunque alle:

.


23° Calcolare i coefficienti di un’equazione di 4° grado, che ha per radici .

Ris. L’equazione è .

24° Calcolare la somma delle prime, o delle seconde, o delle terze potenze delle radici dell’equazione

.

Ris. Dalle , , si trae , , .

25° Trovare le radici razionali di .

Moltiplicando per 2 l’equazione diventa

.

Se è una radice razionale, mutando, caso mai, i segni di (ciò che non muta la nostra radice) possiamo renderne il denominatore positivo. Il numero è da scegliersi tra i divisori positivi di , cioè vale 1 oppure 2; il numero , essendo un divisore positivo o negativo di , potrà avere uno dei valori , . Le eventuali radici razionali sono dunque da cercarsi tra i numeri , ; . Si trova che 1, 2, sono effettivamente radici.

26° Risolvere l’equazione (cercando dapprima le sue radici razionali).

Una tale equazione (per cui non ha radici fratte; si trova che è una radice intera. Dividendo il primo membro per , l’equazione si riduce ad , che determina le altre due radici .

27° L’equazione ha come radice. Risolvere l’equazione.
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Essa avrà come seconda radice. Il primo membro diviso per per quoziente. La terza radice è .

28° Si decomponga in fattori reali il polinomio

,

sapendo che l’equazione ha le radici .

Si noti che ;

.

Quindi:

.


29° Come si cercano le radici comuni alle due equazioni

?

Ris. Uguagliando a zero il Massimo Comun Divisore delle si ha un’equazione, le cui radici sono tutte e sole le radici comuni alle due equazioni.

Le due equazioni

hanno dunque l’unica radice comune 2, perchè è il Massimo Comun Divisore dei primi membri.

30° Per un’equazione sono date le somme , , delle prime, delle seconde, delle terze potenze delle radici. Si determinano i coefficienti , , . (Basta ricordare le formole di Newton, in cui questi coefficienti si riguardino come incognite).
31° Si calcoli

dove , , sono le radici di .

Si noti che la somma dei primi tre termini vale .

32° Si risolvano le equazioni
,
,

cercandone prima di tutto le radici razionali. [p. 61 modifica]

33° Trovare direttamente le radici quadrate, cubiche, quarte, quinte, di cioè si risolvano direttamente le equazioni

Basta osservare che

    

    

e che per si ha ove

e che per si ha ove .

Si confrontino i risultati ottenuti per questa via coi risultati ottenuti per via trigonometrica.

34° Quando avviene che le due equazioni
,

hanno una radice comune?

35° Analoga domanda per le
, .
36° Trovare se esistono radici comuni alle
.
37° Date le somme , , di tre numeri, dei loro quadrati, dei loro cubi, si trovi la somma delle loro quarte potenze. Si cominci col calcolare l’equazione di cui i tre numeri sono radici.

.