Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Esercizi

by Guido Fubini

Capitolo 4 - Esercizi

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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Esercizi.

1° Dati $n$ punti, tra qualunque dei quali non sono mai in linea retta, quante sono le rette che contengono due di tali punti?

Ris. $\textstyle {\binom {n}{2}}$.

2° Quante sono le estrazioni possibili distinte al gioco del lotto?

Ris. $\textstyle {\binom {90}{5}}$.

3° Quante sono le estrazioni possibili al gioco del lotto, in cui $k(k<5)$ dei numeri estratti sono prefissati a priori?

Ris. Dei 5 numeri estratti, $k$ sono prefissati; i restanti $5-k$ devonsi scegliere tra i residui $90-k$ numeri. Il numero cercato è perciò $\textstyle {\binom {90-k}{5-k}}$. Per $k=2,3,4$ si ottiene il numero dei casi, in è possibile vincere un ambo, un terno, una quaterna secca. Tale numero diviso per il numero (esercizio 2°) $\textstyle {\binom {90}{5}}$ delle possibili estrazioni dà la cosidetta probabilità di vittoria.

4° Dati $n<90$ numeri interi positivi non maggiori di $90$, in quante estrazioni del lotto può avvenire che $k$ nei numeri estratti, e non più di $k$ siano tra $n$ numeri dati?

Poichè $k$ dei numeri estratti sono da scegliere tra gli $n$ numeri dati e gli altri $5-k$ tra i residui $90-n$, il numero cercato è $\textstyle {\binom {n}{k}}{\binom {90-n}{5-k}}$.

5° Dati $n$ interi positivi non maggiori di $90$, in quante estrazioni del lotto può avvenire che almeno $h<5$ dei numeri estratti sieno tra gli $n$ numeri dati?

Si devono sommare, se per esempio $n\geq 5$, il valore delle estrazioni di cui all'esercizio 4°, relativi ai valori $k=h,k=h+1,\ldots ,k=5$.

6° Dimostrare che $\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n-1}{m}}+{\binom {n-1}{m-1}}$.

Ris. $1^{a}$. Si verifichi direttamente.

Ris. $2^{a}$. Si osservi che tra le $\textstyle {\binom {n}{m}}$ combinazione degli $n$ elementi $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ad $m$ ad $m$ ve ne sono $\textstyle {\binom {n-1}{m}}$ che non contengono $a_{1}$ ed $\textstyle {\binom {n-1}{m-1}}$ che non lo contengono.

7° Dimostrare che $\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n-1}{m-1}}+{\binom {n-2}{m-1}}+\ldots +{\binom {m-1}{m-1}}$; (Confronta esercizio 6°).

8° Sviluppare $(x+a+b)^{m}$.

Ris. Si ponga $c=a+b$ e si sviluppi, sostituendo poi alle singole potenze di $c$ lo sviluppo corrispondente di $(a+b),(a+b)^{2}$, eccetera. Si trova che il coefficiente di $x^{p}a^{q}b^{r}$ ($p,q,r$ interi positivi di somma $n$) è ${\frac {\lfloor {\underline {n}}}{\lfloor {\underline {p}}\lfloor {\underline {q}}\lfloor {\underline {r}}}}$, come si può provare anche direttamente.

9° La somma dei coefficienti dello sviluppo di $(x+a)^{n}$ vale $2^{n}$: la somma dei coefficienti dello sviluppo di $(x-a)^{n}$ vale zero.

Ris. Infatti tali somme sono uguali ai valori di $(x\pm a)^{n}$ per $x=a=1$.

10° Sviluppare $(2x\pm 3a)^{n}$ e calcolare la somma dei coefficienti dello sviluppo.

11° Dimostrare che i numeri contenuti nelle orizzontali del quadro

${\begin{matrix}&&&&&1&&&&&\\&&&&1&&1&&&&\\&&&1&&2&&1&&&\\&&1&&3&&3&&1&&\\&1&&4&&6&&4&&1&\\1&&5&&10&&10&&5&&1\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&\end{matrix}}$

sono ordinatamente i coefficienti dello sviluppo di $(x+a)^{0}$, $(x+a)^{1}$, $(x+a)^{2}$, $(x+a)^{3}$, eccetera. Si noti che il termine di posto $h$ della riga di posto $k$ si ottiene sommando i termini di posto $h$ ed $h-1$ della riga precedente $1<h<k$.

12° Calcolare il numero ${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}$ delle combinazioni con ripetizioni (in cui cioè uno stesso elemento può essere ripetuto una o più volte) di $n$ elementi ad $h$ ad $h$?

Ris. Quelle di tali combinazioni che non contengono il primo degli $n$ elementi dati sono (se $n>1)$ in numero di ${\begin{bmatrix}n-1\\h\end{bmatrix}}$. Quelle che lo contengono sono in numero di ${\begin{bmatrix}n\\h-1\end{bmatrix}}$, quando sia posto ${\begin{bmatrix}n\\0\end{bmatrix}}=1$. Dunque si ha ${\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n-1\\h\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}n\\h-1\end{bmatrix}}$. Queste proprietà, insieme alle ${\begin{bmatrix}1\\h\end{bmatrix}}=1,{\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}}=n$ bastano a definire ${\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}$. Dunque ${\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}={\binom {n+h-1}{h}}$, perchè ${\binom {n+k-1}{h}}$ gode (esercizio 6°) di tutte queste proprietà.

13° Dalla $(\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )^{n}=\cos n\theta +i\operatorname {sen} n\theta$ si deducano, sviluppando il primo membro con la formola del binomio, i valori di $\cos n\theta$ e $\operatorname {sen} n\theta$.

Ris.

$\cos n\theta =\cos ^{n}\theta -{n \choose 2}\cos ^{n-2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\theta +{n \choose 4}\cos ^{n-4}\theta \operatorname {sen} ^{4}\theta -\ldots$

$\operatorname {sen} n\theta =\operatorname {sen} \theta \left\{{n \choose 1}\cos ^{n-1}\theta -{n \choose 3}\cos ^{n-3}\theta \operatorname {sen} ^{2}\theta +{n \choose 5}\cos ^{n-5}\theta \operatorname {sen} ^{4}\theta -\ldots \right\}$

che si possono scrivere anche in altro modo ricordando che

$\operatorname {sen} ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta$;

$\operatorname {sen} ^{4}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{2}$,

eccetera

14° In modo simile dalla

$(\cos a_{1}+i\operatorname {sen} a_{1})(\cos _{2}+i\operatorname {sen} a_{2})\ldots (\cos a_{n}+i\operatorname {sen} a_{n})=$

$=\cos[a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}]+i\operatorname {sen}[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]$

si possono dedurre le formole di addizione più generali per calcolare $\cos[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]$ e $\operatorname {sen}[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]$.

15° Il lettore deduca in modo analogo dalla

$\cos ^{r}x\operatorname {sen} ^{s}x=k\left\{[\cos x+i\operatorname {sen} x]+[\cos x-i\operatorname {sen} x]\right\}^{r}\cdot$

$\cdot \left\{[\cos x+i\operatorname {sen} x]-[\cos x-i\operatorname {sen} x]\right\}^{s}$

$\left({\frac {1}{k}}=2^{r+s}i^{s}\right)$

che $\cos ^{r}x\operatorname {sen} ^{s}x$ si può esprimere come funzione lineare di seni e di coseni di multipli dell’angolo $x$.

16° Dimostrare che

$i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i,i^{4n}=1$,

per tutti i valori dell’intero $n$.

17° Cacolare ${\sqrt {i}}$.

Ris. È $i=1\left(\cos {\frac {\pi }{2}}+i\operatorname {sen} {\frac {\pi }{2}}\right)$. Quindi $\pm {\sqrt {i}}=\cos {\frac {\pi }{4}}+i\operatorname {sen} {\frac {\pi }{4}}$.

18° calcolare per via trigonometrica ${\sqrt[{n}]{1+i}},{\sqrt[{n}]{i}},{\sqrt[{n}]{i}},{\sqrt[{n}]{-1}}$, per ogni valore dell’intero positivo $n$.

19° Porre sotto forma trigonometrica i numeri

$2+2{\sqrt {-3}},{\frac {2+3i}{3+2i}},5+5i$.

20° Calcolare per via trigonometrica le radici $n^{esime}$ di $\pm 1$ per $n=1,2,3,4,5,6$.

21° Semplificare le espressioni

${\frac {2+5i}{3+{\sqrt {-3}}}}+{\frac {2-5i}{3-{\sqrt {-3}}}};{\frac {1+i}{2+{\sqrt {-5}}}}-{\frac {1-i}{2-{\sqrt {-5}}}};$

${\frac {3}{5+6i}}+{\frac {3}{5-6i}};{\frac {1+i}{2+{\sqrt {-4}}}}+{\frac {1+i}{2-{\sqrt {-4}}}};$

${\frac {1+i}{2+{\sqrt {-4}}}}{\frac {1-i}{2-{\sqrt {-4}}}};{\frac {1+i}{2-3i}};{\frac {2+3i}{1-i}};$

$3(x+iy)^{3}+3(x-iy)^{3}+4i(x+iy)^{2}-4i(x-iy)^{2}$.

22° L’equazione $x^{n}-1=0$ ha per radici $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{n}$, cioè le radici $n^{esime}$ dell’unità. Queste radici soddisfano dunque alle:

$\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n}=0;\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}+\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}+\ldots +\varepsilon _{n-1}\varepsilon _{n}=0$

$\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}+\ldots +\varepsilon _{n-2}\varepsilon _{n-1}\varepsilon _{n}=0;..............................;$

$\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n-1}+\ldots +\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}\ldots \varepsilon _{n}=0;\varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\ldots \varepsilon _{n}=(-1)^{n+1}$.

23° Calcolare i coefficienti di un’equazione di 4° grado, che ha per radici $0,1,-1,2$.

Ris. L’equazione è $x(x^{3}-2x^{2}-x+2)=0$.

24° Calcolare la somma delle prime, o delle seconde, o delle terze potenze delle radici dell’equazione

$x^{4}-2x^{3}+4x^{2}-1=0$.

Ris. Dalle $s_{1}-2=0$, $s_{2}-2s_{1}+8=0$, $s_{3}-2s_{2}+4s_{1}=0$ si trae $s_{1}=2$, $s_{2}=-4$, $s_{3}=-16$.

25° Trovare le radici razionali di $x^{3}-{\frac {7}{2}}x^{2}+{\frac {7}{2}}x-1=0$.

Moltiplicando per 2 l’equazione diventa

$2x^{3}-7x^{2}+7x-2=0$.

Se ${\frac {\alpha }{\beta }}$ è una radice razionale, mutando, caso mai, i segni di $\alpha ,\beta$ (ciò che non muta la nostra radice) possiamo renderne il denominatore $\beta$ positivo. Il numero $\beta$ è da scegliersi tra i divisori positivi di $a_{0}=2$, cioè vale 1 oppure 2; il numero $\alpha$, essendo un divisore positivo o negativo di $a_{2}=-2$, potrà avere uno dei valori $\pm 1$, $\pm 2$. Le eventuali radici razionali sono dunque da cercarsi tra i numeri $\pm 1$, $\pm {\frac {1}{2}}$; $\pm 2$. Si trova che 1, 2, ${\frac {1}{2}}$ sono effettivamente radici.

26° Risolvere l’equazione $x^{3}+x^{2}+2x+2=0$ (cercando dapprima le sue radici razionali).

Una tale equazione (per cui $a_{0}=1)$ non ha radici fratte; si trova che $-1$ è una radice intera. Dividendo il primo membro per $x+1$, l’equazione si riduce ad $x^{2}+2=0$, che determina le altre due radici $\pm i{\sqrt {2}}$.

27° L’equazione $x^{3}+2x^{2}+x+2=0$ ha $i$ come radice. Risolvere l’equazione.

Essa avrà $-i$ come seconda radice. Il primo membro diviso per $(x+i)(x-i)=x^{2}+1$ dà $x+2$ per quoziente. La terza radice è $-2$.

28° Si decomponga in fattori reali il polinomio

$P(x)=x^{6}-2x^{5}+2x^{4}-x^{2}+2x-2$,

sapendo che l’equazione $P(x)=0$ ha le radici $1,-1,i,1-i$.

Si noti che $(x-i)(x+i)=x^{2}+1$;

$[x-(1-i)][x-(1+i)]=x^{2}-2x+2$.

Quindi:

$P(x)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{3}-2x+2)$.

29° Come si cercano le radici comuni alle due equazioni

$f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-2=0,g(x)=x^{2}-4=0$?

Ris. Uguagliando a zero il Massimo Comun Divisore delle $f(x),g(x)$ si ha un’equazione, le cui radici sono tutte e sole le radici comuni alle due equazioni.

Le due equazioni

$x^{3}-2x^{2}+x-2=0$

$x^{2}-4=0$

hanno dunque l’unica radice comune 2, perchè $x-2$ è il Massimo Comun Divisore dei primi membri.

30° Per un’equazione $x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$ sono date le somme $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$ delle prime, delle seconde, delle terze potenze delle radici. Si determinano i coefficienti $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$. (Basta ricordare le formole di Newton, in cui questi coefficienti si riguardino come incognite).

31° Si calcoli

$\alpha _{1}^{4}\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{2}^{4}\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}^{4}\alpha _{1}\alpha _{2}+3(\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}\alpha _{1}+\alpha _{1}^{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{1}+\alpha _{2}^{2}\alpha _{1}+\alpha _{2}\alpha _{1}^{2})$

dove $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$ sono le radici di $x^{3}+x+1=0$.

Si noti che la somma $s_{4,1,1}$ dei primi tre termini vale $s_{4},s_{1,1}-s_{3,1}$.

32° Si risolvano le equazioni

$x^{4}+3x^{3}+x^{2}-3x-2=0$	,	$x^{5}-x^{3}+x^{2}-1=0$
$x^{3}-x^{2}+4x-4=0$,

cercandone prima di tutto le radici razionali.

33° Trovare direttamente le radici quadrate, cubiche, quarte, quinte, di $\pm 1;$ cioè si risolvano direttamente le equazioni

$x^{2}\pm 1=0$

$;x^{3}\pm 1=0$

$;x^{4}\pm 1=0$

$;x^{5}\pm 1=0.$

Basta osservare che

$x^{2}-1=(x-1)(x+1)$     $;x^{2}+1=x^{2}-i^{2}=(x-i)(x+i)$

$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$    $;x^{3}+1=(x+1)(x^{2}-x+1)$

$x^{4}-1=(x^{2}-1)(x^{2}+1)=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)$

$x^{4}+1=(x^{2}+1)^{2}-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-({\sqrt {2}}x)^{2}=$

$=(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1)(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1)$

$(x^{5}-1)=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}-x+1$

e che per $x\not =0$ si ha $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-1=x^{2}\left\{z^{2}-z-1\right\}$ ove $z=x+{\frac {1}{x}}$

$(x^{5}+1)=(x+1)(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)$

e che per $x\not =0$ si ha $x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1=x^{2}\left\{z^{2}-z-1\right\}$ ove $z=x+{\frac {1}{x}}$.

Si confrontino i risultati ottenuti per questa via coi risultati ottenuti per via trigonometrica.

34° Quando avviene che le due equazioni

$x^{3}+px+q=0$

,

$x^{2}+bx+c=0$

hanno una radice comune?

35° Analoga domanda per le

$x^{3}+px+q=0$

,

$x^{4}+a=0$.

36° Trovare se esistono radici comuni alle

$x^{4}+x^{3}+4x^{2}+3x+3=0$

$x^{4}+4x^{2}+3=0$.

37° Date le somme $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$ di tre numeri, dei loro quadrati, dei loro cubi, si trovi la somma $s_{4}$ delle loro quarte potenze. Si cominci col calcolare l’equazione di cui i tre numeri sono radici.

$x^{4}+x^{3}+5x^{2}+4x+4=0$.

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