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polinomii ed equazioni algebriche

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$\delta )$ Vediamo come il problema di trovare le radici $z=z+iy$ reali o complesse dell’equazione

$f(x)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}=0$

a coefficienti $a_{j}=b_{j}+ic_{j}$ reali o complessi ($x,y,c_{j},b_{j}$ numeri reali) si riduca al problema di trovare le radici reali di un’equazione a coefficienti reali. La nostra equazione diventa nelle attuali ipotesi:

$(b_{0}+ic_{0})(x+iy)^{n}+(b_{1}+ic_{1})(x+iy)^{n-1}+\ldots +$

$+(b_{n-1}+ic_{n-1})(x+iy)+(b_{n}+ic_{n})=0$.

Sviluppando ed eseguendo tutte le operazioni, il primo membro si ridurrà in fine al tipo

$P(x,y)+iQ(x,y)$,

ove $P$ e $Q$ saranno polinomii nelle $x,y$ a coefficienti reali, onde l’equazione precedente diventerà:

$P(x,y)+iQ(x,y)=0$

e si scinderà nelle due:

$P(x,y)=0$

;

$Q(x,y)=0$.

Siamo così ridotti alla risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite, che si potrà fare col metodo dato in γ. Ogni soluzione reale $x=x_{0},y=y_{0}$ di questo sistema dà una radice $x_{0}+iy_{0}$ dell’equazione proposta, e viceversa.

Esercizi.

1° Dati $n$ punti, tra qualunque dei quali non sono mai in linea retta, quante sono le rette che contengono due di tali punti?

Ris. $\textstyle {\binom {n}{2}}$.

2° Quante sono le estrazioni possibili distinte al gioco del lotto?

Ris. $\textstyle {\binom {90}{5}}$.

3° Quante sono le estrazioni possibili al gioco del lotto, in cui $k(k<5)$ dei numeri estratti sono prefissati a priori?

Ris. Dei 5 numeri estratti, $k$ sono prefissati; i restanti $5-k$ devonsi scegliere tra i residui $90-k$ numeri. Il numero cercato è perciò $\textstyle {\binom {90-k}{5-k}}$. Per $k=2,3,4$ si ottiene il