Lezioni di analisi matematica/Capitolo 4/Paragrafo 17

by Guido Fubini

Capitolo 4 - Sistemi di equazioni algebriche

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 17. — Sistemi di equazioni algebriche.

$\alpha )$ Se $f(x)=0$, $g(x)=0$ sono due equazioni algebriche, che hanno comune la radice $\alpha$, allora $x-\alpha$ è divisore sia di $f(x)$ che di $g(x)$ e quindi anche del loro massimo comun divisore; cioè $\alpha$ è radice dell’equazione, ottenuta uguagliando a zero tale M. C. D. E reciprocamente, una radice di questa ultima equazione è radice comune delle $f(x)=0$, $g(x)=0$. Se tale M. C. D. è una costante (differente da zero), se cioè $f(x),g(x)$ sono primi tra di loro, le equazioni $f(x)=0$, $g(x)=0$ non avranno radici comuni.

$\beta )$ Si può scrivere in vari modi la condizione necessaria e sufficiente affinchè le equazioni $f(x)=0$, $g(x)=0$ abbiano almeno una radice comune.

Se per esempio $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}$ sono le radici della $g(x)=0$, basta esprimere che è nulla almeno una delle $f(\alpha _{1}),f(\alpha _{2}),\ldots ,f(\alpha _{m})$, ossia che il loro prodotto

$f(\alpha _{1})f(\alpha _{2})\ldots f(\alpha _{m})=0$.

Il primo membro di questa equazione, essendo un polinomio simmetrico delle radici della $g(x)=0$, si può calcolare (§ 14, δ) senza risolvere questa equazione. Tale polinomio (che si può calcolare anche in altri modi, per esempio, esprimendo che almeno una delle radici di $f(x)=0$ soddisfa alla $g(x)=0$), il cui annullarsi è condizione necessaria e sufficiente affinchè le due equazioni abbiano almeno una radice comune, si dice il risultante delle due equazioni: esso è un polinomio formato coi coefficienti $a_{i}$ e $b_{i}$ delle due equazioni.

$\gamma )$ Sistemi di due equazioni algebriche intere a due incognite.

Uguagliando a zero un polinomio in più variabili sia ha un’equazione algebrica a più incognite, ed i gruppi dei valori delle incognite, che soddisfano l’equazione, sono le soluzioni di essa. Date due equazioni algebriche in due incognite $x,y$ consideriamo il loro sistema, e cerchiamo le loro soluzioni comuni.

Siano:

$f(x,y)=0$

,

$g(x,t)=0$

le due equazioni; la prima di grado n, la seconda di grado m nella $x$. Ordinate secondo le potenze decrescenti di $x$, esse prendono la forma

$f(x,y)=\varphi _{0}(y)x^{n}+\varphi _{1}(y)x^{n-1}+\varphi _{2}(y)x^{n-2}+\ldots +\varphi _{n}(y)=0$

$g(x,y)=\psi _{0}(y)x^{m}+\psi _{1}(y)x^{m-1}+\psi _{2}(y)x^{m-2}+\ldots +\psi _{m}(y)=0$

dove $\varphi$ e $\psi$ sono polinomii nella $y$

Se una coppia di valori $x$ ed $y$, per esempio, $x=\alpha ,y=\beta$, soddisfa entrambe le equazioni, allora, immaginando in esse posto $y=\beta$, si hanno due equazioni nella sola $x$, che avranno per radice comune il valore $x=\alpha$; cosicchè per $y=\beta$ sarà nullo il risultante $R$ di questa due equazioni in $x$. Si noti che, per calcolare $R$, nelle due date equazioni si considera come incognita la sola $x$; cosicchè questo loro risultante $R$ sarà un polinomio $R(y)$ nella sola $y$, perchè dipenderà solo dalle $\varphi _{i}(y),\psi _{j}(y)$, coefficienti delle due equazioni.

Se $x=\alpha ,y=\beta$ soddisfano le equazioni, la $R(y)=0$ ammette $\beta$ come radice. Viceversa ogni valore $\beta$ di $y$ che annulli $R(y)$, sostituito nelle due equazioni date, le riduce a due equazioni in $x$ aventi almeno una radice a comune, che si calcola servendosi dell’algoritmo del M. C. D. Si trovano così tutte le coppie di valori di $y$ ed $x$ soddisfacenti alle due date equazioni.

L’equazione $R(y)=0$ dicesi l’equazione risultante dalla eliminazione di $x$ dalle due date equazioni. In generale, però, per calcolare $R(y)$, o per risolvere il dato sistema di equazioni, è opportuno ricorrere ad artifici che variano da caso a caso, e che solo la pratica può suggerire.

$\delta )$ Vediamo come il problema di trovare le radici $z=z+iy$ reali o complesse dell’equazione

$f(x)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\ldots +a_{n-1}z+a_{n}=0$

a coefficienti $a_{j}=b_{j}+ic_{j}$ reali o complessi ($x,y,c_{j},b_{j}$ numeri reali) si riduca al problema di trovare le radici reali di un’equazione a coefficienti reali. La nostra equazione diventa nelle attuali ipotesi:

$(b_{0}+ic_{0})(x+iy)^{n}+(b_{1}+ic_{1})(x+iy)^{n-1}+\ldots +$

$+(b_{n-1}+ic_{n-1})(x+iy)+(b_{n}+ic_{n})=0$.

Sviluppando ed eseguendo tutte le operazioni, il primo membro si ridurrà in fine al tipo

$P(x,y)+iQ(x,y)$,

ove $P$ e $Q$ saranno polinomii nelle $x,y$ a coefficienti reali, onde l’equazione precedente diventerà:

$P(x,y)+iQ(x,y)=0$

e si scinderà nelle due:

$P(x,y)=0$

;

$Q(x,y)=0$.

Siamo così ridotti alla risoluzione di un sistema di due equazioni in due incognite, che si potrà fare col metodo dato in γ. Ogni soluzione reale $x=x_{0},y=y_{0}$ di questo sistema dà una radice $x_{0}+iy_{0}$ dell’equazione proposta, e viceversa.