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capitolo iv — § 17

Essa avrà $-i$ come seconda radice. Il primo membro diviso per $(x+i)(x-i)=x^{2}+1$ dà $x+2$ per quoziente. La terza radice è $-2$.

28° Si decomponga in fattori reali il polinomio

$P(x)=x^{6}-2x^{5}+2x^{4}-x^{2}+2x-2$,

sapendo che l’equazione $P(x)=0$ ha le radici $1,-1,i,1-i$.

Si noti che $(x-i)(x+i)=x^{2}+1$;

$[x-(1-i)][x-(1+i)]=x^{2}-2x+2$.

Quindi:

$P(x)=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)(x^{3}-2x+2)$.

29° Come si cercano le radici comuni alle due equazioni

$f(x)=x^{3}-2x^{2}+x-2=0,g(x)=x^{2}-4=0$?

Ris. Uguagliando a zero il Massimo Comun Divisore delle $f(x),g(x)$ si ha un’equazione, le cui radici sono tutte e sole le radici comuni alle due equazioni.

Le due equazioni

$x^{3}-2x^{2}+x-2=0$

$x^{2}-4=0$

hanno dunque l’unica radice comune 2, perchè $x-2$ è il Massimo Comun Divisore dei primi membri.

30° Per un’equazione $x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$ sono date le somme $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$ delle prime, delle seconde, delle terze potenze delle radici. Si determinano i coefficienti $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$. (Basta ricordare le formole di Newton, in cui questi coefficienti si riguardino come incognite).

31° Si calcoli

$\alpha _{1}^{4}\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{2}^{4}\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}^{4}\alpha _{1}\alpha _{2}+3(\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}\alpha _{1}+\alpha _{1}^{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}^{2}\alpha _{1}+\alpha _{2}^{2}\alpha _{1}+\alpha _{2}\alpha _{1}^{2})$

dove $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, $\alpha _{3}$ sono le radici di $x^{3}+x+1=0$.

Si noti che la somma $s_{4,1,1}$ dei primi tre termini vale $s_{4},s_{1,1}-s_{3,1}$.

32° Si risolvano le equazioni

$x^{4}+3x^{3}+x^{2}-3x-2=0$	,	$x^{5}-x^{3}+x^{2}-1=0$
$x^{3}-x^{2}+4x-4=0$,

cercandone prima di tutto le radici razionali.