polinomii ed equazioni algebriche 57
11° Dimostrare che i numeri contenuti nelle orizzontali del quadro
1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
{\displaystyle {\begin{matrix}&&&&&1&&&&&\\&&&&1&&1&&&&\\&&&1&&2&&1&&&\\&&1&&3&&3&&1&&\\&1&&4&&6&&4&&1&\\1&&5&&10&&10&&5&&1\\\end{matrix}}}
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
{\displaystyle {\begin{matrix}.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&\end{matrix}}}
sono ordinatamente i coefficienti dello sviluppo di
(
x
+
a
)
0
{\displaystyle (x+a)^{0}}
(
x
+
a
)
1
{\displaystyle (x+a)^{1}}
(
x
+
a
)
2
{\displaystyle (x+a)^{2}}
(
x
+
a
)
3
{\displaystyle (x+a)^{3}}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
h
{\displaystyle h}
h
−
1
{\displaystyle h-1}
1
<
h
<
k
{\displaystyle 1<h<k}
12° Calcolare il numero
[
n
k
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}}
delle combinazioni con ripetizioni (in cui cioè uno stesso elemento può essere ripetuto una o più volte) di
n
{\displaystyle n}
elementi ad
h
{\displaystyle h}
ad
h
{\displaystyle h}
?
Ris. Quelle di tali combinazioni che non contengono il primo degli
n
{\displaystyle n}
n
>
1
)
{\displaystyle n>1)}
[
n
−
1
h
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n-1\\h\end{bmatrix}}}
[
n
h
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\h-1\end{bmatrix}}}
[
n
0
]
=
1
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\0\end{bmatrix}}=1}
[
n
h
]
=
[
n
−
1
h
]
+
[
n
h
−
1
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n-1\\h\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}n\\h-1\end{bmatrix}}}
[
1
h
]
=
1
,
[
n
1
]
=
n
{\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\h\end{bmatrix}}=1,{\begin{bmatrix}n\\1\end{bmatrix}}=n}
[
n
h
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}}
[
n
h
]
=
(
n
+
h
−
1
h
)
{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\h\end{bmatrix}}={\binom {n+h-1}{h}}}
(
n
+
k
−
1
h
)
{\displaystyle {\binom {n+k-1}{h}}}
esercizio 6° ) di tutte queste proprietà.
13° Dalla
(
cos
θ
+
i
sen
θ
)
n
=
cos
n
θ
+
i
sen
n
θ
{\displaystyle (\cos \theta +i\operatorname {sen} \theta )^{n}=\cos n\theta +i\operatorname {sen} n\theta }
si deducano, sviluppando il primo membro con la formola del binomio, i valori di
cos
n
θ
{\displaystyle \cos n\theta }
e
sen
n
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} n\theta }
.
Ris.
cos
n
θ
=
cos
n
θ
−
(
n
2
)
cos
n
−
2
θ
sen
2
θ
+
(
n
4
)
cos
n
−
4
θ
sen
4
θ
−
…
{\displaystyle \cos n\theta =\cos ^{n}\theta -{n \choose 2}\cos ^{n-2}\theta \operatorname {sen} ^{2}\theta +{n \choose 4}\cos ^{n-4}\theta \operatorname {sen} ^{4}\theta -\ldots }
sen
n
θ
=
sen
θ
{
(
n
1
)
cos
n
−
1
θ
−
(
n
3
)
cos
n
−
3
θ
sen
2
θ
+
(
n
5
)
cos
n
−
5
θ
sen
4
θ
−
…
}
{\displaystyle \operatorname {sen} n\theta =\operatorname {sen} \theta \left\{{n \choose 1}\cos ^{n-1}\theta -{n \choose 3}\cos ^{n-3}\theta \operatorname {sen} ^{2}\theta +{n \choose 5}\cos ^{n-5}\theta \operatorname {sen} ^{4}\theta -\ldots \right\}}
che si possono scrivere anche in altro modo ricordando che
sen
2
θ
=
1
−
cos
2
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{2}\theta =1-\cos ^{2}\theta }
sen
4
θ
=
(
1
−
cos
2
θ
)
2
{\displaystyle \operatorname {sen} ^{4}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{2}}
eccetera
14° In modo simile dalla
(
cos
a
1
+
i
sen
a
1
)
(
cos
2
+
i
sen
a
2
)
…
(
cos
a
n
+
i
sen
a
n
)
=
{\displaystyle (\cos a_{1}+i\operatorname {sen} a_{1})(\cos _{2}+i\operatorname {sen} a_{2})\ldots (\cos a_{n}+i\operatorname {sen} a_{n})=}
=
cos
[
a
1
+
a
2
+
…
a
n
]
+
i
sen
[
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
]
{\displaystyle =\cos[a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}]+i\operatorname {sen}[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]}
![{\displaystyle =\cos[a_{1}+a_{2}+\ldots a_{n}]+i\operatorname {sen}[a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b225a232b9dc99cdecf3cad4def498f685cd612f)
