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capitolo iv — § 17

numero dei casi, in è possibile vincere un ambo, un terno, una quaterna secca. Tale numero diviso per il numero (esercizio 2°) $\textstyle {\binom {90}{5}}$ delle possibili estrazioni dà la cosidetta probabilità di vittoria.

4° Dati

n<90

numeri interi positivi non maggiori di

90

, in quante estrazioni del lotto può avvenire che

k

nei numeri estratti, e non più di

k

siano tra

n

numeri dati?

Poichè $k$ dei numeri estratti sono da scegliere tra gli $n$ numeri dati e gli altri $5-k$ tra i residui $90-n$ , il numero cercato è $\textstyle {\binom {n}{k}}{\binom {90-n}{5-k}}$ .

5° Dati

n

interi positivi non maggiori di

90

, in quante estrazioni del lotto può avvenire che almeno

h<5

dei numeri estratti sieno tra gli

n

numeri dati?

Si devono sommare, se per esempio $n\geq 5$ , il valore delle estrazioni di cui all'esercizio 4°, relativi ai valori $k=h,k=h+1,\ldots ,k=5$ .

6° Dimostrare che

\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n-1}{m}}+{\binom {n-1}{m-1}}

.

Ris. $1^{a}$ . Si verifichi direttamente.

Ris. $2^{a}$ . Si osservi che tra le $\textstyle {\binom {n}{m}}$ combinazione degli $n$ elementi $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ad $m$ ad $m$ ve ne sono $\textstyle {\binom {n-1}{m}}$ che non contengono $a_{1}$ ed $\textstyle {\binom {n-1}{m-1}}$ che non lo contengono.

7° Dimostrare che

\textstyle {\binom {n}{m}}={\binom {n-1}{m-1}}+{\binom {n-2}{m-1}}+\ldots +{\binom {m-1}{m-1}}

; (Confronta esercizio 6°).

8° Sviluppare

(x+a+b)^{m}

.

Ris. Si ponga $c=a+b$ e si sviluppi, sostituendo poi alle singole potenze di $c$ lo sviluppo corrispondente di $(a+b),(a+b)^{2}$ , eccetera. Si trova che il coefficiente di $x^{p}a^{q}b^{r}$ ( $p,q,r$ interi positivi di somma $n$ ) è ${\frac {\lfloor {\underline {n}}}{\lfloor {\underline {p}}\lfloor {\underline {q}}\lfloor {\underline {r}}}}$ , come si può provare anche direttamente.