Lezioni di analisi matematica/Capitolo 2/Paragrafo 5

by Guido Fubini

Misura (algebrica) degli angoli

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Misura (algebrica) degli angoli

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§ 5. — Misura (algebrica) degli angoli.

$\alpha$) È uso universale misurare gli angoli, assumendo ad unità di misura il grado: che di solito si definisce come la novantesima parte di un angolo retto (e soltanto da pochissimi come la centesima parte di un angolo retto). La sessantesima parte del grado dicesi minuto primo, la sessantesima parte di un minuto primo dicesi minuto secondo.

Se poi vogliamo parlare di misura algebrica degli angoli posti nel piano del foglio col vertice in $O$, dovremo cominciare ad assumere come positivo uno dei versi secondo cui può rotare un raggio di origine $O$ intorno ad $O$ mantenendosi nel piano del foglio; e in generale assumeremo come verso positivo il verso contrario a quello secondo cui si muoverebbero gli indici di un orologio posto nel piano del foglio col quadrante rivolto al lettore; questo verso è quello che trasporta (nel caso della figura 1) il raggio $a$ sul raggio $b$ attraverso l’angolo acuto. L’angolo descritto da un raggio (semiretta) $a$, che ruota attorno alla propria origine $O$, sarà considerato come positivo o come negativo secondo che la rotazione è avvenuta nel verso scelto come positivo o nel verso opposto; alla misura (per esempio in gradi) di quest’angolo premetteremo nei due casi rispettivamente il segno + o il segno — . L’angolo $ab$ [oppure $(a,b)$] di due raggi $a$, $b$, aventi l’origine comune $O$, sarà poi per definizione l’angolo di cui primo raggio $a$ deve rotare intorno ad $O$ per sovrapporsi al secondo raggio $b$.

Quest’angolo non è determinato, ma anzi ha infiniti valori: infatti, se un giro positivo di $\alpha$ gradi porta $a$ in $b$, un giro negativo di $360^{\circ }-\alpha$ porta ancora $a$ in $b$; è, poichè un giro di $\pm k\;360^{\circ }$ ($k$ essendo un qualsiasi intero positivo) porta $a$ in $a$, anche un giro positivo di $k\;360^{\circ }+\alpha$, oppure un giro negativo di $360^{\circ }-\alpha +k\;360^{\circ }$ porta $a$ in $b$. Quindi, se $\alpha$ è la misura (algebrica) di $(a,b)$ in gradi, $\alpha +h\;360^{\circ }$ sono altrettanti valori della misura dello stesso angolo, qualunque sia l’intero $h$ positivo o negativo; e viceversa, se $\alpha$ è un valore di $(a,b)$ tutti gli altri valori di $(a,b)$ differiscono da $\alpha$ per un multiplo di $\pm 360^{\circ }$. Noi considereremo naturalmente questi infiniti valori come equivalenti, ossia considereremo come equivalenti due angoli $\alpha$ e $\beta$, quando la loro differenza è un multiplo di $360^{\circ }$ e scriveremo in tal caso $\alpha \equiv \beta$, e anche talvolta $\alpha =\beta$.

Se è nota la posizione di un raggio $a$ uscente da $O$, la posizione di ogni altro raggio $b$ uscente da $O$ è determinata, quando si conosca un valore dell’angolo $(a,b)$. È poi evidente che se $a,b$ sono due raggi aventi la stessa origine $O$ e se con un giro di $\alpha$ gradi intorno ad $O$ (essendo $\alpha$ numero positivo o negativo qualunque) il raggio $a$ si sovrappone a $b$, con un giro uguale ma di segno contrario il raggio $b$ si sovrappone ad $a$, cosicchè:

$(a,b)\equiv -(b,a)$ ossia ${\widehat {ab}}+{\widehat {ba}}\doteq 0.$

Se $a$, $b$, $c$ sono tre raggi posti nello stesso piano ed aventi la stessa origine $O$, se un giro di $\alpha$ gradi porta $a$ nel raggio $b$, e un giro di $\beta$ gradi porta $b$ nel raggio $c$, allora un giro di $\alpha +\beta$ gradi porterà $a$ in $c$: quindi

$(a,b)+(b,c)\equiv (a,c);(a,b)+(b,c)+(c,a)\equiv 0$,

$(a,b)\equiv (c,b)-(c,a);(b,a)\equiv (c,a)-(c,b)$.

In generale se $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, ....., $a_{n-1}$, $a_{n}$ sono raggi posti nello stesso piano ed uscenti da $O$ si avrà:

$(a_{1},a_{2})+(a_{2},a_{3})+\dots +(a_{n-1},a_{n})+(a_{n},a_{1})\equiv 0$.

$\beta$) Se $A$, $B$ sono due punti, per raggio $A\;B$ intenderemo sempre il raggio uscente da $A$ e contenente $B$.

Siano ora $r$, $r'$ due rette, su ciascuna delle quali è fissato il verso positivo, che si incontrino in un punto $O$: se $R$, $R'$ sono due punti di $r$, $r'$ tali che i segmenti $OR$, $OR'$ siano positivi, l’angolo $(r,r')$ sarà per definizione l’angolo dei raggi $OR$, $OR'$.

Se $r$, $r'$ non s’incontrano, e se $OR$, $O'R'$ sono due segmenti positivi di $r$, $r'$, per angolo $(rr')$ s’intende l’angolo del raggio $OR$ col raggio $OS$ parallelo ad $r'$ ed avente la stessa orientazione di $r'$ (vale a dire tale che i segmenti $O'R'$, $OS$ cadano da una stessa banda della retta $OO'$).

Se $r$ indica una retta, su cui è fissato un certo verso come positivo, si suole indicare con $-r$ la stessa retta, in cui si sia invertito il verso considerato come positivo; sono evidenti allora le seguenti uguaglianze:

$(r,r')+(r',-r)\equiv (r,-r)\equiv 180^{\circ }$

ossia $(r,r')\equiv 180^{\circ }+(-r,r')$.

Similmente si trova:

$(r,r')\equiv 180^{\circ }+(r,-r')$

$(-r,-r')\equiv (r,r').$

$\gamma$) Come unità di misura degli angoli è però teoricamente preferibile un’altra unità di misura, che sarà ora definita e che verra sempre adottata in questo libro.

Sia $\alpha$ un angolo qualsiasi di vertice $C$: si descriva una circonferenza avente il centro $C$, il raggio $R$ arbitrario, e sia $\beta$ la lunghezza dell’arco di circonferenza sotteso dall’angolo (al centro) $\alpha$. Il rapporto $\textstyle {\frac {\beta }{R}}$ è uguale alla lunghezza di detto arco, quando si assuma come unità di misura delle lunghezze il raggio $R$. Questo rapporto non varia al variare di $R$ (perchè archi di cerchi concentrici sottesi da uno stesso angolo al centro hanno lunghezze proporzionali al raggio del cerchio su cui giacciono) ed è proporzionale all’angolo $\alpha$. Noi assumeremo questo rapporto come misura dell’angolo $\alpha$ e chiameremo radiante l’angolo che in questo sistema di misura ha per misura 1; il radiante sarà quindi l’angolo che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Se $\alpha =360^{\circ }$, l’arco di cerchio corrispondente è uguale all’intera circonferenza e ha per lunghezza $\beta =2\pi R$; quindi l’angolo di $360^{\circ }$, misurato in radianti, ha per misura

${\frac {2\pi R}{R}}=2\pi$.

Due angoli sono equivalenti se le loro misure in gradi differiscono per un multiplo di $360^{\circ }$. Poichè in radianti l’angolo di $360^{\circ }$ ha per misura $2\pi$, due angoli saranno equivalenti, se le loro misure in radianti differiscono per un multiplo di $2\pi$.

Un angolo piatto ha in gradi la misura $\textstyle {\frac {360}{2}}=180$; in radianti esso ha quindi per misura $\pi$; l’angolo retto ha per misura $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$, l’angolo di $45^{\circ }$ ha per misura $\textstyle {\frac {\pi }{4}}$.

Se $x$, $y$ sono le misure di uno stesso angolo rispettivamente in radianti e in gradi, si avrà:

${\frac {x}{y}}={\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}$.

L'angolo di un radiante vale in gradi $180:\pi =57,2957795$, cioè vale minuti secondi 206264,8.....; perciò, se $\varphi$ è la misura in radianti di un angolo e $\alpha ''$ la sua misura in minuti secondi sarà con grande approssimazione $\varphi :\alpha ''=1:206265''$.

$\delta$) Se $x$ è la misura di un angolo acuto in radianti (quindi $\textstyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}$) allora si ha:

$\operatorname {sen} {x}<x<{\text{tg}}\;x$.

Fig. 2. Sia $AOB$ l'angolo $x$ e sia $OC$ la retta simmetrica di $OB$ rispetto ad $OA$; sarà $COB=2x$. Sia $BAC$ il cerchio di centro $O$ e di raggio 1. Sarà (figura 2) arco $AB=$ arco $CA=x$;

arco $CAB=2x$; segmento $AH={\text{tg}}\;x$; segmento $MB=CM=\operatorname {sen} {x}$; segmento $CB=2\operatorname {sen} {x}$.

Poichè: segmento $CB<$ arco $CAB$, sarà $2\operatorname {sen} {x}<2x,$ ossia $\operatorname {sen} {x}<x$.

D'altra parte: area triangolo $OHK=OA.AH={\text{tg}}\;x;$ area settore $\textstyle OC\;AB={\frac {OA}{2}}$. Arco $CAB=x$.

Poichè: area triangolo $OHK>$ area settore $OCAB$, sarà ${\text{tg}}\;x>x$. Le disuguaglianze così ottenute dimostrano completamente il nostro teorema.

Se $y$ è l’ampiezza in gradi di un angolo, la cui misura in radianti è $x$, sarà $\textstyle x={\frac {\pi }{180}}y$; perciò $\textstyle \operatorname {sen} {y}<{\frac {\pi }{180}}<{\text{tg}}\;y$.