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applicazioni geometriche

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Se $x$, $y$ sono le misure di uno stesso angolo rispettivamente in radianti e in gradi, si avrà:

${\frac {x}{y}}={\frac {2\pi }{360}}={\frac {\pi }{180}}$.

L'angolo di un radiante vale in gradi $180:\pi =57,2957795$, cioè vale minuti secondi 206264,8.....; perciò, se $\varphi$ è la misura in radianti di un angolo e $\alpha ''$ la sua misura in minuti secondi sarà con grande approssimazione $\varphi :\alpha ''=1:206265''$.

$\delta$) Se $x$ è la misura di un angolo acuto in radianti (quindi $\textstyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}$) allora si ha:

$\operatorname {sen} {x}<x<{\text{tg}}\;x$.

Fig. 2. Sia $AOB$ l'angolo $x$ e sia $OC$ la retta simmetrica di $OB$ rispetto ad $OA$; sarà $COB=2x$. Sia $BAC$ il cerchio di centro $O$ e di raggio 1. Sarà (figura 2) arco $AB=$ arco $CA=x$;

arco $CAB=2x$; segmento $AH={\text{tg}}\;x$; segmento $MB=CM=\operatorname {sen} {x}$; segmento $CB=2\operatorname {sen} {x}$.

Poichè: segmento $CB<$ arco $CAB$, sarà $2\operatorname {sen} {x}<2x,$ ossia $\operatorname {sen} {x}<x$.

D'altra parte: area triangolo $OHK=OA.AH={\text{tg}}\;x;$ area settore $\textstyle OC\;AB={\frac {OA}{2}}$. Arco $CAB=x$.

Poichè: area triangolo $OHK>$ area settore $OCAB$, sarà ${\text{tg}}\;x>x$. Le disuguaglianze così ottenute dimostrano completamente il nostro teorema.

Se $y$ è l’ampiezza in gradi di un angolo, la cui misura in radianti è $x$, sarà $\textstyle x={\frac {\pi }{180}}y$; perciò $\textstyle \operatorname {sen} {y}<{\frac {\pi }{180}}<{\text{tg}}\;y$.

§ 6. — Coordinate di un punto di una retta.

$\alpha$) Sia $r$ una retta orientata, su cui cioè si è scelto come positivo, per esempio, il verso da sinistra a destra.

Fissiamo sopra la retta un punto $O$, che chiameremo l'origine; la posizione di un punto qualsiasi $A$ di $r$ è determinata quando si conosca la misura del segmento $OA$ in valore assoluto e in segno