Lezioni di analisi matematica/Capitolo 1/Paragrafo 4

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Numeri reali

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§ 4. — Numeri reali.

Insieme ai numeri positivi l’algebra considera, come è noto, anche i numeri negativi; i quali con le seguenti convenzioni, trovano pure applicazione nel problema della misura dei segmenti.

$\alpha$ ) Una retta $r$ si dice orientata, se è fissato su di essa un verso che si assume come positivo (nella figura e in quanto segue da sinistra a destra). Un segmento orientato di tale retta $AB$ si ritiene percorso nel verso dal punto $A$ al punto $B$ , e si ritengono distinti i segmenti (orientati) $AB$ , $BA$ i cui versi sono opposti.

Misura algebrica di un segmento $AB$ di $r$ è il rapporto di tale segmento al segmento unitario, preso col segno + o col segno — , secondo che il verso del segmento (il verso da $A$ a $B$ ) coincide col verso positivo o col verso negativo di $r$ . E se noi indichiamo con uno stesso simbolo un segmento e la sua misura, e per convenzione poniamo in generale $a=-(-a)$ , avremo $AB=-BA$ , $AB+BA=0$ . Cioè:

La misura di un segmento cambia di segno se ne invertiamo gli estremi.

I numeri razionali o irrazionali, positivi o negativi, fin qui definiti, hanno ricevuto complessivamente il nome di numeri reali. Se $a$ è un numero reale, con $|a|$ ne indichiamo il valore assoluto; indichiamo cioè con $|a|$ lo stesso numero $a$ , se $a$ è positivo e il numero $a$ cambiato di segno, se $a$ è negativo.

$\beta$ ) Due segmenti orientati si diranno uguali, se hanno lo stesso verso e sono uguali dal punto di vista della geometria elementare: ossia se hanno misure uguali e dello stesso segno.

Due numeri si diranno uguali se hanno uguale segno e uguale valore assoluto. I numeri negativi si considerano minori di zero e dei numeri positivi. Di due numeri negativi si considera maggiore quello che è minore in valore assoluto.

Siano dati i segmenti $c$ , $d$ ; preso un punto qualsiasi $A$ di $r$ , si consideri il segmento $AB$ uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a $c$ , e quindi il segmento $BC$ uguale (e quindi anche ugualmente orientato) a $d$ . Il segmento $AC$ (ed ogni segmento ad esso uguale) si dirà somma dei segmenti $c$ , $d$ . Questa definizione coincide evidentemente con la solita, quando i segmenti, $c$ , $d$ sono entrambi positivi. [p. 13 modifica]

Diremo poi somma di due numeri $x$ , $y$ il numero che misura il segmento somma dei due segmenti che hanno per misura $x$ oppure $y$ .

Si riconosce facilmente che:

1° Il segno della somma di due numeri è uguale al segno dell'addendo, il cui valore assoluto è più grande.

2° Il valore assoluto della somma di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei valori assoluti dei due addendi, secondo che questi hanno o non hanno lo stesso segno.

Queste proprietà potrebbero servire alla definizione puramente analitica della somma di due numeri.

Si estendono facilmente queste definizioni alla somma di più numeri, e si dimostrano le solite regole del calcolo algebrico.

Se $A$ , $B$ , $C$ , sono tre punti qualsiasi di $r$ , è per definizione:

AB+BC=AC=-CA

,

ossia

AB+BC+CA=0

.

Così se $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $A_{4}$ sono punti qualsiasi di $r$ , è:

A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}=A_{1}A_{3}

;

A_{1}A_{3}+A_{3}A_{4}=A_{4}A_{1}=0

.

donde:

A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+A_{3}A_{4}+A_{4}A_{1}=0

.

Più in generale, se $A_{1}\;A_{2}.....,A_{n}$ sono punti qualsiasi di $r$ , è $A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+.....A_{n-1}A_{n}+A_{n}A_{1}=0$ .

E questa formola vale anche se i punti $A$ non sono tutti distinti.

$\gamma$ ) Si definisce poi il prodotto di due o più numeri reali (fattori) quel numero che ha per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti dei fattori, e il segno + o il segno — secondo che vi è numero pari o dispari di fattori negativi.

Si definiscono poi la sottrazione e la divisione come le operazioni inverse de11’addizione e della moltiplicazione, estendendo quindi le solite regole del calcolo algebrico.

Un numero $a$ è minore o maggiore di un altro numero $b$ , secondochè $a-b$ è negativo o positivo.

$\delta$ ) È poi evidente che se $a$ , $b$ sono numeri reali qualsiasi

|a\pm b|\leq |a|+|b|

|a\pm b|\geq |a|-|b|

|a\pm b|\pm |b|-|a|

|a\cdot b|=|a|\cdot |b|

.

Se

b\neq 0

, allora

\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}

.

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$\varepsilon$ ) Se $G$ è una classe di numeri negativi $-m$ , e se $L$ , $l$ , sono i limiti superiore e inferiore dei numeri $m$ , allora $-L$ e $-l$ si dicono rispettivamente il limite inferiore e superiore dei numeri di $G$ . Queste definizioni appariranno spontanee a chi pensi che (secondo le proprietà da noi ricordate) di due numeri negativi si considera come minore quello che è maggiore in valore assoluto.

Se $G$ è una classe che contiene sia numeri positivi $p$ , sia numeri negativi $n$ , si dirà limite superiore (inferiore) di $G$ il limite superiore (inferiore) dei numeri positivi $p$ (negativi $n$ ) che appartengono a $G$ .

Anche in questo caso generale si può ripetere quanto per tali limiti si disse al § 3.

$\zeta$ ) Se $G$ , $\Gamma$ sono due classi di numeri reali tali che il limite $\lambda$ inferiore di $G$ coincida con il limite superiore di $\Gamma$ , noi diciamo che le classi $G$ , $\Gamma$ sono contigue, che $G$ è la classe superiore e che $\lambda$ è il numero di separazione delle due classi. In tal caso nessun numero di $G$ può essere inferiore ad alcun numero di $\Gamma$ ; e, preso un intero positivo $k$ arbitrario, esiste tanto in $G$ che in $\Gamma$ almeno un numero che coincide con $\lambda$ fino alla $k^{esima}$ decimale. I due numeri così scelti in $G$ e in $\Gamma$ differiranno al più per $\textstyle {\frac {2}{10^{k}}}$ .

Viceversa, se nessun numero della classe $G$ è inferiore ad un numero della classe $\Gamma$ , e se per ogni numero intero positivo $k$ esistono un numero di $G$ e un numero di $\Gamma$ , la cui differenza non supera $\textstyle {\frac {2}{10^{k}}}$ , è ben evidente che le classi $G$ , $\Gamma$ sono contigue, e che $G$ è la classe superiore.

$\eta$ ) La teoria delle potenze e delle radici rapidamente riassunta al § 3 si estende con qualche modificazione ai numeri negativi. Così, se $x$ è negativo, ed $n$ intero positivo, la $x^{n}$ è positiva se $n$ è pari, negativa se $n$ è dispari. Se ne deduce che, se $n$ è pari ed $x$ è negativo, il simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ si deve considerare come sprovvisto di significato nell’attuale campo dei numeri reali.

E se, pure essendo $n$ pari, la $x$ è positiva, il simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ ha un doppio significato. Perchè se $y$ è un numero positivo tale che $y^{n}=x$ , cosicchè $y={\sqrt[{n}]{x}}$ , anche $-y$ soddisfa alla analoga uguaglianza $(-y)^{n}=x$ , cosicchè anche $-y$ si può con[p. 15 modifica]siderare come radice $n^{esima}$ della $x$ . Salvo però avvertenza contraria, col simbolo ${\sqrt[{n}]{x}}$ indicheremo sempre la radice positiva.

Se $n$ è dispari, ${\sqrt[{n}]{x}}$ ha sempre uno e uno solo significato.

Secondo tali convenzioni non si parlerà mai di una potenza $x^{\frac {m}{n}}$ , quando $x$ è negativo, e dei due numeri interi $m$ , $n$ il secondo è pari. Nè parleremo mai di una potenza $x^{p}$ se $x$ è negativo, $p$ è irrazionale.

Se $n$ è un numero negativo, poniamo $x^{n}={\frac {1}{x^{-n}}}$ .

Vale anche nel caso attuale la formola

$x^{p}x^{q}=x^{p+q}$

in tutti i casi in cui i simboli $x^{p}$ , $x^{q}$ hanno un significato.

$\theta$ ) Se tre numeri $a$ , $x$ , $y$ sono legati dalla $a^{x}=y$ , noi diremo che $x$ è il logaritmo di $y$ in base $a$ , e scriveremo $x=\log _{a}{y}$ . La base $a$ si suppone positiva e quasi sempre maggiore di 1 (anzi assai spesso uguale a 10). Si dimostra: