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capitolo ii — § 5

di $r'$ (vale a dire tale che i segmenti $O'R'$, $OS$ cadano da una stessa banda della retta $OO'$).

Se $r$ indica una retta, su cui è fissato un certo verso come positivo, si suole indicare con $-r$ la stessa retta, in cui si sia invertito il verso considerato come positivo; sono evidenti allora le seguenti uguaglianze:

$(r,r')+(r',-r)\equiv (r,-r)\equiv 180^{\circ }$

ossia $(r,r')\equiv 180^{\circ }+(-r,r')$.

Similmente si trova:

$(r,r')\equiv 180^{\circ }+(r,-r')$

$(-r,-r')\equiv (r,r').$

$\gamma$) Come unità di misura degli angoli è però teoricamente preferibile un’altra unità di misura, che sarà ora definita e che verra sempre adottata in questo libro.

Sia $\alpha$ un angolo qualsiasi di vertice $C$: si descriva una circonferenza avente il centro $C$, il raggio $R$ arbitrario, e sia $\beta$ la lunghezza dell’arco di circonferenza sotteso dall’angolo (al centro) $\alpha$. Il rapporto $\textstyle {\frac {\beta }{R}}$ è uguale alla lunghezza di detto arco, quando si assuma come unità di misura delle lunghezze il raggio $R$. Questo rapporto non varia al variare di $R$ (perchè archi di cerchi concentrici sottesi da uno stesso angolo al centro hanno lunghezze proporzionali al raggio del cerchio su cui giacciono) ed è proporzionale all’angolo $\alpha$. Noi assumeremo questo rapporto come misura dell’angolo $\alpha$ e chiameremo radiante l’angolo che in questo sistema di misura ha per misura 1; il radiante sarà quindi l’angolo che sottende un arco di lunghezza uguale al raggio. Se $\alpha =360^{\circ }$, l’arco di cerchio corrispondente è uguale all’intera circonferenza e ha per lunghezza $\beta =2\pi R$; quindi l’angolo di $360^{\circ }$, misurato in radianti, ha per misura

${\frac {2\pi R}{R}}=2\pi$.

Due angoli sono equivalenti se le loro misure in gradi differiscono per un multiplo di $360^{\circ }$. Poichè in radianti l’angolo di $360^{\circ }$ ha per misura $2\pi$, due angoli saranno equivalenti, se le loro misure in radianti differiscono per un multiplo di $2\pi$.

Un angolo piatto ha in gradi la misura $\textstyle {\frac {360}{2}}=180$; in radianti esso ha quindi per misura $\pi$; l’angolo retto ha per misura $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$, l’angolo di $45^{\circ }$ ha per misura $\textstyle {\frac {\pi }{4}}$.