Lezioni di analisi matematica/Capitolo 2/Paragrafo 6

by Guido Fubini

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

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§ 6. — Coordinate di un punto di una retta.

$\alpha$) Sia $r$ una retta orientata, su cui cioè si è scelto come positivo, per esempio, il verso da sinistra a destra.

Fissiamo sopra la retta un punto $O$, che chiameremo l'origine; la posizione di un punto qualsiasi $A$ di $r$ è determinata quando si conosca la misura del segmento $OA$ in valore assoluto e in segno (il quale segno sarà + oppure — secondo che $A$ si trova a destra od a sinistra di $O$): così, se per esempio $OA=+3$, il punto $A$ è quel punto di $r$, posto a destra dell’origine $O$ che ne dista il triplo dell’unita di lunghezza; se $OA=-5$, $A$ è quel punto di $r$ posto a sinistra di $O$, la cui distanza da $O$ è il quintuplo dell’unita di lunghezza.

In generale la misura del segmento $OA$ si chiama la coordinata di $A$ e si indica di solito con una delle lettere $x$, $y$, $z$...

L’origine $O$ è l’unico punto della retta $r$ che abbia la coordinata nulla; poichè un punto di $r$ ha una coordinata perfettamente individuata, e viceversa ad ogni valore della coordinata corrisponde uno (e un solo) punto di $r$, vi è una corrispondenza biunivoca senza eccezione tra i valori della coordinata ed i punti di $r$.

$\beta$) Se $A$, $B$ sono due punti di $r$, le cui coordinate sono rispettivamente $x_{1}$, $x_{2}$ sarà:

$OA=x_{1}$,

$OB=x_{2}$,

$AO=-x_{1}$,

$BO=-x_{2}$.

Ma $AB=OB-OA$; quindi la misura del segmento $AB$, i cui estremi $A$, $B$ hanno rispettivamente le coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, è $x_{2}-x_{1}$ (in valore assoluto e in segno).

Se $x_{2}-x_{1}$ è positivo, ossia se $x_{2}>x_{1}$, allora il segmento $AB$ è positivo, ossia $A$ giace a sinistra di $B$; se invece $x_{2}-x_{1}$ è negativo, ossia $x_{2}<x_{1}$, allora $A$ giace a destra di $B$; ciò che è intuitivo per la definizione stessa di coordinata. I punti del segmento $AB$ sono i punti, le cui coordinate sono comprese tra $x_{1}$ ed $x_{2}$; se per esempio $x_{1}<x_{2}$, essi sono i punti $x$ per cui $x_{1}\leq x\leq x_{1}$.

Se $A_{1}$, $A_{2}$,... $A_{n}$ sono punti di $r$ di coordinate $x_{1}$, $x_{2}$, ..., $x_{n}$, avrà luogo l’identità:

$(x_{2}-x_{1})+(x_{3}-x_{2})+(x_{4}-x_{3})+.....+$

$+(x_{n}-x_{n-1})+(x_{1}-x_{n})=0$

che equivale alla $A_{1}A_{2}+A_{2}A_{3}+.....+A_{n-1}A_{n}+A_{n}A_{1}=0$ dimostrata nel §4, β (pagina 13).

$\gamma$) Noi spesso identificheremo un valore della variabile $x$ col punto di coordinata $x$; così, per esempio, diremo il punto $a$ anzichè dire il numero $a$; viceversa diremo talvolta il numero $a$ per indicare il punto $A$, tale che il segmento $OA$ abbia per misura $a$.

La relazione biunivoca, da noi così determinata tra i numeri dell’aritmetica ed i punti di una retta, permette di trasformare proprietà geometriche in teoremi aritmetici e viceversa.