Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 96 bis

Capitolo 15 - Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato degli integrali definiti

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Capitolo 15 - Il metodo dei rettangoli per il calcolo approssimato degli integrali definiti
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§ 96 bis. — Il metodo dei rettangoli
per il calcolo approssimato degli integrali definiti.

Abbiamo riconosciuto al § 96 che, diviso l'intervallo in un numero finito di intervalli parziali , si ha:

ove è uno dei valori assunti da m<ath>F(x)</math> in , scelto in modo conveniente. Cosicchè, se noi, data , e scelti i , sapessimo scegliere tali valori , il calolco dell'integrali sarebbe ridotto a operazioni elementari (somma dei prodotti). Ma poichè invece in generale non sappiamo scegliere tali , sostituiamo ad uno qualsiasi dei valori che assume in , assumendo poi la somma , come valore approssimato del nostro integrale. È questo un procedimento molto usato; la teoria, d'accordo con l'intuizione, lo giustifica, come vedremo in ), provando che l'approssimazione raggiunta si potrà render grande a piacere, cioè che la differenza si può render pilla a piacere in valore assoluto, prendendo tutti i abbastanza piccoli (e ciò indipendentemente dal modo con cui si è scelto il valore di in <math>\delta_1/math>). [p. 316 modifica]Ciò, che con una facile estensione del concetto di limite si scrive . L'errore commesso sostituendo ad viene cioè eliminato passando al limite per .

Tale metodo di calcolo approssimato si può chiamare metodo dei rettangoli.

Infatti il calcolo del nostro integrale equivale a quello dell'area del rettangoloide definito dalla curva , che ha per base il segmento . Diviso in segmenti , il rettangoloide resta diviso in rettangoloidi parziali; all'area di uno di questi noi sostituiamo il prodotto , cioè l'area di un rettangolo che ha ancora per base, e che ha per altezza , essendo uno qualsiasi dei valori che ha in .

Per possiamo assumere p. es. il valore di ad uno degli estremi di , oppure il massimo valore di od il minimo valore di di in , oppure un nuero qualsiasi compreso tra ed .

) Con gli stessi metodi con cui si è provato che l'area esterna di un rettangoloide è uguale all'interna, si può dimostrare intanto che il limite inferiore di è uguale al limite superiore di ; e che quindi entrambi sono uguali al numero , che è sompreso tra le due somme citate. Resta così provato che questo integrale si può perciò definire come il numero che separa le classi contigue descritte rispettivamente dalle .

È intuitivo poi (come il lettore può riconoscere pensando all'area di un rettangoloide, e ricordando la trattazione elementare per l'area del cerchio) e si può facilmente provare1 che [p. 317 modifica]

Si può rendere piccola a piacere (minore di un piccolo a piacere) la differenza , considerando degli intervallini abbastanza piccoli [che tale differenza (non conveniente scelta dei ] si possa rendere piccola, segue dal precedente teorema; la presente osservazione precisa che i saranno scelti convenientemente, se saranno scelti abbastanza piccoli]. A fortiori, se indichiamo con uno qualunque dei valori asunti da [p. 318 modifica]in , cosicchè , allora, poichè e sono entrambi compresi tra e , avremo che:

Dato che un numero piccolo a piacere, posso scegliere i così piccoli che

.

Cosicchè con facile estensione della definizione di limite, possiamo enunciare il seguente teorema:

Lo non solo è il numero che supera le classi contigue descritte dalle , ma è anche il limite di quando tutti i tendono a zero, se è un qualsiasi numero compreso tra ed (od eventualmente uguale anche ad o a ).

Se noi confrontiamo quest'ultimo teorema col teorema dato in (), pag. 315, cioè , vediamo che tanto che rappresentano una quantità compresa tra ed . Ma mentre è una quantità arbitrariamente scelta tra e , la è un numero convenientemente scelto tra ed . Cosicchè nella

si potrebbe quasi dire che il passaggio al limite (quando tutti i tendono a zero) corregge l'errore commesso scegliendo i valori intermedi in modo arbitrario tra ed .

) Un caso particolare della nostra formola si ottiene nel modo seguente:

Si divida l'intervallo in intervallini parziali , i cui estremi formino una progressione aritmetica; tutti questi intervallini saranno uguali tra di loro ed avranno come lunghezza comune.

Se come scegliamo il valore di , p. es., nell'estremo destro del corrispondente intervallo , otterremo che:

(I)     

.

[p. 319 modifica]Similmente, supposto , e posto , i punti formano una progressione geometrica e dividono l'intervallo in intervallini che tendono a zero per , ossia per .

Si ritrova (ricordando che :

(II)          

.

Questa è in fondo la formola applicata a pag. 128, es. 3°, quando si è calcolata un'area, il cui valore è, come ora sappiamo, l'integrale di tra e .

Esempio.

1° Si calcoli col metodo precedente dalla (I).

Si trova:

.

Note

  1. Ciò si può dedurre dal teorema di Heins (§ 40 e § 63, pagina 197), perchè, in virtù di questo teorema, si possono scegliere i così piccoli che tutte le corrispondenti oscillazioni risultano minori di . Allora sarà , come volevasi provare. Allo stesso risultato si giunge direttamente così: Dato un sistema di intervallini e un altro sistema di intervallini , ottenuto dal precedente intercalando nuovi punti di divisione, le somme corrispondenti soddisfano alle e . E ciò, perchè il massimo (il minimo ) di in un non è inferiore ad alcuno dei massimi (non supera alcuno dei minimi che ha nel intervallini , in cui è stato suddiviso l'intervallo considerato, mentre la lunghezza vale la somma della lunghezza di questi . Sia >0 un numero piccolo a piacere; e consideriamo, p. es., le Esisterà un sistema di intervallini parziali tali che, se è il minimo di in , sia

    E ciò perchè è proprio il limite superiore delle (o delle ).

    Consideriamo un altro qualsiasi sistema di intervalli , ciascuno dei quali sia più piccolo del minimo tra gli intervalli e sia più piccolo anche di , se è il massimo di in . Sia quel sistema di intervallini che si ottiene dividendo in parti sia coi punti estremi dei , sia coi punti estremi del . Poichè i sono ottenuti sia dai che dai , intercalando nuovi punti di divisione, sarà: ; ,mentre è .

    Ora nel passare dai agli intervallini , al più degli intervalli sono stati divisi in (due) parti (perchè un non può contenere tutto un per l'ipotesi fatta) e gli intervallini , che si ottengono dividendo oin due parti al più intervalli hanno complessivamente una lunghezza che non può superare . Il contributo che essi danno nella somma non può superare .

    Poichè gli altri intervalli sono contemporaneamente intervalli , la somma superarà al più di ; cosicchè .

    Poichè , sarà: . È già noto che . Cosicchè, se i sono scelti abbastanza piccoli (nel modo sopra precisato), la differisce da per mendo di

    In modo analogo si prova che, se i sono abbastanza piccoli, differisce da per meno di . Quindi, preso un numero piccolo a piacere, possiamo scegliere un numero tale che, se tutti i sono minori di , allora sia minore di . c.d.d.