Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 96

Capitolo 15 - Alcune somme fondamentali

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§ 96. — Alcune somme fondamentali.

) Abbiamo dunque riconosciuto l'identità del concetto di funzione additiva avente per derivata la funzione continua e di .

Cosicchè se, p. es., , ed , la si può pensare identiva all'area del rettangoloide limitato dall'arco di curva per , dalle rette che ne proiettano gli estremi sull'asse delle , e dallo stesso asse delle .

Ci serviremo tosto di questo fatto per illustrare geometricamente alcune considerazioni.

Diviso l'intervallo in intervallini parziali , allora il valore della nostra funzione additiva vale la somma dei valori corrispondenti ai nostri intervallini : ciascuno dei quali è, per il teorema della media, compreso tra e , se sono il massimo e il minimo di in , e vale , ove è un conveniente valore della in . Perciò:

La è compresa tra e . Esistono dunque dei convenienti numeri compresi tra ed tali che . [p. 314 modifica]Perciò: La è compresa tra il limite inferiore delle , e il limite superiore delle .

Fig. 33.

) Sarà bene illustrare questo procedimento per le funzioni ricorrendo all'interpretazione citata di come area della figura piana Fig. 34.(rettangoloide) compresa tra l'asse delle , la curva , e le parallele dell'asse delle , i cui punti hanno per ascissa rispettivamente oppure .


Nella fig. 33 sono disegnati per l'intervallino parziale il minimo e il massimo di .

Nella successiva fig. 34 (in cui per chiarezza si è disegnata una curva di più semplice andamento) è reso ben evidente che un prodotto è l'area di un rettangolo avente per base e tutto interno alla nosra figura (i rettangoli , ecc); cosicchè misura l'area di un poligono che è tutto contenuto nel nostro rettangoloide ed ha perciò un'area non maggiore di quella del nostro rettangoloide. [p. 315 modifica]Invece i numeri , ecc. sono l'area dei rettangoli , ecc., la cui somma è un poligono, che contiene il nostro rettangoloide, e la cui area è perciò non minore dell'area del rettangolo stesso.

Riesce così resa intuitiva la nostra affermazione.

Del resto tutti gli altri esempio del paragrafo precedente potrebbe servire altrettanto bene ad illustrare la nostra affermazione.

) Ricordiamo la precedente formola: .

La lunghezza di di un intervallo parziale non è che l'incremento subito dalla nel passare da un estremo all'altro. Se noi scriviamo al posto di , e sostituiamo al greco un S maiuscolo latino, che la scrittura corrente può aver deformato nel segno , intendiamo il perchè della notazione usata per indicare gli integrali definiti.