Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 96

by Guido Fubini

Capitolo 15 - Alcune somme fondamentali

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 15 - Alcune somme fondamentali

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§ 96. — Alcune somme fondamentali.

$\alpha$) Abbiamo dunque riconosciuto l'identità del concetto di funzione $\mathrm {S(a,b)}$ additiva avente per derivata la funzione continua $\mathrm {F(x)}$ e di $\mathrm {\int _{a}^{b}F(x)dx}$.

Cosicchè se, p. es., $F(x)\geq \,0$, ed $a>b$, la $S(a,b)$ si può pensare identiva all'area del rettangoloide limitato dall'arco di curva $y=F(x)$ per $a\leq \,x\leq \,b$, dalle rette che ne proiettano gli estremi sull'asse delle $x$, e dallo stesso asse delle $x$.

Ci serviremo tosto di questo fatto per illustrare geometricamente alcune considerazioni.

Diviso l'intervallo $(a,b)$ in $n$ intervallini parziali $\delta _{1},\delta _{2},...\delta _{n}$, allora il valore $S(a,b)$ della nostra funzione additiva vale la somma dei valori $S$ corrispondenti ai nostri intervallini $\delta _{1}$: ciascuno dei quali è, per il teorema della media, compreso tra $\delta _{i}M_{i}$ e $\delta _{i}m_{i}$, se $M_{i}m_{i}$ sono il massimo e il minimo di $F(x)$ in $\delta _{i}$, e vale $\delta _{1}{\bar {F}}_{1}$, ove ${\bar {F}}_{1}$ è un conveniente valore della $F(x)$ in $\delta _{i}$. Perciò:

La $S(a,b)=\int _{a}^{b}F(x)dx$ è compresa tra $\sum M_{i}\delta _{i}=M_{1}+\delta _{1}+M_{2}\delta _{2}+.....+M_{n}\delta _{n}$ e $\sum m_{i}\delta _{i}$. Esistono dunque dei convenienti numeri ${\bar {F}}_{i}$ compresi tra $m_{i}$ ed $M_{i}$ tali che $\int _{a}^{b}F(x)dx=\sum {\bar {F}}_{1}\delta _{1}$. Perciò: La $\mathrm {S(a,b)}$ è compresa tra il limite inferiore delle $\Sigma M\delta$, e il limite superiore delle $\Sigma m\delta$.

Fig. 33.

$\beta$) Sarà bene illustrare questo procedimento per le funzioni $F(x)\geq \,0$ ricorrendo all'interpretazione citata di $\int _{a}^{b}F(x)dx$ come area della figura piana Fig. 34.(rettangoloide) compresa tra l'asse delle $x$, la curva $y=F(x)$, e le parallele dell'asse delle $y$, i cui punti hanno per ascissa rispettivamente $a$ oppure $b$.

Nella fig. 33 sono disegnati per l'intervallino parziale $delta_{1}$ il minimo $m_{1}$ e il massimo $M_{1}$ di $F(x)$.

Nella successiva fig. 34 (in cui per chiarezza si è disegnata una curva $y=F(x)$ di più semplice andamento) è reso ben evidente che un prodotto $\delta _{i}m_{i}$ è l'area di un rettangolo avente per base $\delta _{i}$ e tutto interno alla nosra figura (i rettangoli $APA'_{1}A',A_{1}P_{1}A'_{2}A'_{1}$, ecc); cosicchè $\Sigma m_{i}\delta _{i}$ misura l'area di un poligono che è tutto contenuto nel nostro rettangoloide ed ha perciò un'area non maggiore di quella del nostro rettangoloide. Invece i numeri $M_{1}\delta _{1},M_{2}\delta _{2}$, ecc. sono l'area dei rettangoli $QA_{1}A'_{1}A',Q_{1}A_{2}A'_{2}A'_{1}$, ecc., la cui somma è un poligono, che contiene il nostro rettangoloide, e la cui area è perciò non minore dell'area del rettangolo stesso.

Riesce così resa intuitiva la nostra affermazione.

Del resto tutti gli altri esempio del paragrafo precedente potrebbe servire altrettanto bene ad illustrare la nostra affermazione.

$\gamma$) Ricordiamo la precedente formola: $\int _{a}^{b}F(x)dx=\Sigma {\bar {F}}_{i}\delta _{1}$.

La lunghezza di $\delta _{i}$ di un intervallo parziale non è che l'incremento $dx$ subito dalla $x$ nel passare da un estremo all'altro. Se noi scriviamo $dx$ al posto di $\delta _{i}$, e sostituiamo al $\Sigma$ greco un S maiuscolo latino, che la scrittura corrente può aver deformato nel segno $\int$, intendiamo il perchè della notazione usata per indicare gli integrali definiti.