Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 97

Capitolo 15 - Generalizzazioni del concetto di integrale. L'integrale di Riemann

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Capitolo 15 - Generalizzazioni del concetto di integrale. L'integrale di Riemann
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§ 97. — Generalizzazioni del concetto di integrale.
L'integrale di Reimann.

Negli ultimi venti anni si è generalizzata la definizione di integrale. Noi non possiamo dare neanche un'idea di questi studi recenti e teoricamente importantissimi. Vogliamo soltanto dare un brevissimo cenno della definizione di integrali di Reimann, che più generale di quella da noi posta e che, dopo aver occupato un posto perspicuo nell'analisi, ha ora, più che altro, un valore storico. Sia una funzione definita in un campo . Non supporremo continua, ma la supporremo soltanto limitata (supporremo cioè finito non soltanto ogni valore di ma anche finito il limite superiore dei valori assoluti di ). Diviso in un numero finito di pezzi , non potremo più dire che in uno di questi la ha un massimo o un minimo, ma soltanto che essa in ogni (per ha un limite superiore e un limite inferiore infiniti. Indicando con anche la misura di , costruiamo le somme:

                         (1)

                         (2) [p. 320 modifica]Si può dimostrare che, se, p. es., , ogni somma (1) supera ogni somma (2). Se le classi descritte da queste due somme sono contigue, il numero di separazione delle due classi riceve il nome di integrale secondo. Reiann della esteso al campo .