Lezioni di analisi matematica/Capitolo 15/Paragrafo 97

by Guido Fubini

Capitolo 15 - Generalizzazioni del concetto di integrale. L'integrale di Riemann

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 15 - Generalizzazioni del concetto di integrale. L'integrale di Riemann

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§ 97. — Generalizzazioni del concetto di integrale.
L'integrale di Reimann.

Negli ultimi venti anni si è generalizzata la definizione di integrale. Noi non possiamo dare neanche un'idea di questi studi recenti e teoricamente importantissimi. Vogliamo soltanto dare un brevissimo cenno della definizione di integrali di Reimann, che più generale di quella da noi posta e che, dopo aver occupato un posto perspicuo nell'analisi, ha ora, più che altro, un valore storico. Sia $F$ una funzione definita in un campo $I$. Non supporremo $F$ continua, ma la supporremo soltanto limitata (supporremo cioè finito non soltanto ogni valore di $F$ ma anche finito il limite superiore dei valori assoluti di $F$). Diviso $I$ in un numero finito $r$ di pezzi $\delta _{1},\delta _{2},...,\delta _{r}$, non potremo più dire che in uno di questi la $F$ ha un massimo o un minimo, ma soltanto che essa in ogni $\delta _{s}$ (per $s=1,2,...,r)$ ha un limite superiore $L_{s}$ e un limite inferiore $l$ infiniti. Indicando con $\delta _{s}$ anche la misura di $\delta _{s}$, costruiamo le somme:

                    $\Sigma _{s}\delta _{s}$     (1)

                    $\Sigma l_{s}\delta _{s}$     (2) Si può dimostrare che, se, p. es., $\delta >0$, ogni somma (1) supera ogni somma (2). Se le classi descritte da queste due somme sono contigue, il numero di separazione delle due classi riceve il nome di integrale secondo. Reiann della $F$ esteso al campo $I$.