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gli integrali definiti e le funzioni additive, ecc.

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Similmente, supposto $b>a$, e posto $k={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}$, i punti $a,ak,ak^{2},.....,ak^{n-1},ak^{n}=b$ formano una progressione geometrica e dividono l'intervallo $(a,b)$ in intervallini che tendono a zero per $n=\infty$, ossia per $k=1$.

Si ritrova (ricordando che $\left.k={\sqrt[{n}]{\frac {b}{a}}}\right)$:

(II)          $\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim a(k-1)\left\{f(a)+kf(ak)+\right.$

$\left.+k^{2}f(ak^{2})+.....+k^{n-1}f(ak^{n-1})\right\}$.

Questa è in fondo la formola applicata a pag. 128, es. 3°, quando si è calcolata un'area, il cui valore è, come ora sappiamo, l'integrale di ${\frac {1}{x}}$ tra $a$ e $b$.

Esempio.

1° Si calcoli $\int _{a}^{b}xdx$ col metodo precedente dalla (I).

Si trova:

$\int _{a}^{b}xdx=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{1}^{n}\left[a+r{\frac {b-a}{n}}\right]=$

$=\lim _{n=\infty }{\frac {b-a}{n}}\left\{na+{\frac {n(n+1=}{2}}{\frac {b-a}{n}}\right\}=\lim _{n=-\infty }\left\{a(b-a)+\right.$

$\left.{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)(b-a)^{2}\right\}=a(b-a)+{\frac {1}{2}}(b-a)^{2}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}$.

§ 97. — Generalizzazioni del concetto di integrale.
L'integrale di Reimann.

Negli ultimi venti anni si è generalizzata la definizione di integrale. Noi non possiamo dare neanche un'idea di questi studi recenti e teoricamente importantissimi. Vogliamo soltanto dare un brevissimo cenno della definizione di integrali di Reimann, che più generale di quella da noi posta e che, dopo aver occupato un posto perspicuo nell'analisi, ha ora, più che altro, un valore storico. Sia $F$ una funzione definita in un campo $I$. Non supporremo $F$ continua, ma la supporremo soltanto limitata (supporremo cioè finito non soltanto ogni valore di $F$ ma anche finito il limite superiore dei valori assoluti di $F$). Diviso $I$ in un numero finito $r$ di pezzi $\delta _{1},\delta _{2},...,\delta _{r}$, non potremo più dire che in uno di questi la $F$ ha un massimo o un minimo, ma soltanto che essa in ogni $\delta _{s}$ (per $s=1,2,...,r)$ ha un limite superiore $L_{s}$ e un limite inferiore $l$ infiniti. Indicando con $\delta _{s}$ anche la misura di $\delta _{s}$, costruiamo le somme:

                    $\Sigma _{s}\delta _{s}$     (1)

                    $\Sigma l_{s}\delta _{s}$     (2)